圆锥曲线的综合问题(定点、定值、探究性问题)课件-2024届高三数学一轮复习

圆锥曲线的综合问题 ——定点、定值、探究性问题 邻水县九龙中学 秦文轩 考点一 定点问题 方法技巧 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关. 已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1). (1)求抛物线C的方程及其准线方程; (2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于M,N两点,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点. 考点二 定值问题 [例2] 已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N. (1)求直线l的斜率的取值范围; [解] 因为抛物线y2=2px过点(1,2), 所以2p=4,即p=2.故抛物线C的方程为y2=4x. 由题意知,直线l的斜率存在且不为0. 设直线l的方程为y=kx+1(k≠0). 依题意 =(2k-4)2-4 k2 1>0,解得k<0或0<k<1. 又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2).从而k≠-3. 所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1). 方法技巧 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 (1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值. (2)两大解法: ①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关; ②引进变量法:其解题流程为 (2)若直线l:y=kx+m与椭圆C交于E,F两点,点G在椭圆C上,且四边形OEGF为平行四边形,求证:四边形OEGF的面积S为定值. 考点三 探究性问题 (2)请问是否存在直线l满足下列两个条件:①过C2的焦点F;②与C1交于不同的两点M,N,且直线OM与ON(O为坐标原点)垂直.若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 方法技巧 探究性问题的解题策略 探究性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,若结论不正确,则不存在. (1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论. (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件. (3)当条件和结论都未知,按常规方法解题很困难时,要思维开放,采取另外的途径. 如图,已知抛物线C:y2=4x,A(1,2),B(m,0),其中m>0,过B的直线l交抛物线C于M,N两点. (1)当m=5,且直线l垂直于x轴时,求证: AMN为直角三角形; [例1] (2022 全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B两点. (1)求E的方程; [解] ∵椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过点A(0,-2), ∴可设椭圆E的方程为+=1(a≠0), 又椭圆E过点B,∴+=1,得a2=3, ∴E的方程为+=1. (2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足=.证明:直线HN过定点. [解] 当直线MN的斜率不存在时,lMN:x=1, 由得y2=,∴y= . 结合题意可知M,N, ∴过M且平行于x轴的直线的方程为y=-. 易知点T的横坐标xT∈,直线AB的方程为y-(-2)= (x-0),即y=x-2,由得xT=3-, ∴T. ∵=,∴H,lHN:y-=(x-1),即y=x-2. 当直线MN的斜率存在时,如图,设M(x1,y1),N(x2,y2),lMN:y=kx+m(k+m=-2). 由得(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0, >0,∴x1+x2=-,x1x2=. 过M且平行于x轴的直线的方程为y=y1, 与直线AB的方程联立,得得xT=, ∴T. ∵=,∴H(3y1+6-x1,y1),lHN:y-y2=(x-x2), 即y=x+y2- x2, 令x=0,得y=y2-==. ∵y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=, y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m=,x1y2+x2y1=x1(kx2+m)+x2(kx1+m)=2kx1x2+m(x1+x2)=, ∴-(x1y2+x2y1)+3y1y2=+==,-(x1+x2)+6+3(y1+y2)=+6+==, ∴y==-2,∴直线HN过定点(0,-2). 综上,直线HN过定点(0,-2). 由得k2x2+(2k-4)x+1=0. (2)设O为原点,= ,= ,求证:+为定值. [解] 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2). 由(1)知x1+x2=-,x1x2=. 直线PA的方程为y-