2023年中考数学专题训练——圆与相似三角形综合

2023年中考数学专题训练——圆与相似三角形综合 1．如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F在BD的延长线上，且AB = AC． （1）求证：DE平分∠CDF； （2）若AC = 3 cm，AD = 2 cm，求DE的长． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH． （1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB=1，求HG·HB的值． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC上，AD的延长线交⊙O于点E，连接CE． （1）求证：∠ADC＝∠ACE； （2）若⊙O的半径为2，的度数为90°，DE＝2，求AD的长． 4．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F． （1）求证：； （2）若CE＝，AE＝5，求cos∠AOC的值． 5．如图，AB是的直径，C、D是圆上两点，CD=BD，过点D作AC的垂线分别交AC，AB延长线于点E，F． （1）求证：EF是的切线； （2）若AE-3，，求的半径． 6．如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，直线与相切，并且交于点，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 7．如图，是的外接圆，弦交于点，且． （1）求证：； （2）连接并延长交于点，若，，求的半径． 8．如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 9．如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与三角形的外接圆交于点D，AC、BD相交于点P． 求证：（1）△DBC为等腰三角形； （2）AB∶BD＝PB∶PC． 10．如图，是的内接圆的直径，点在半圆上，与交于点，，过点作交的延长线于点，交圆于点． （1）当，时，求圆的半径． （2）在（2）的条件下，连接交于点，则______．（直接写出答案） 11．如图，在中，，点在边上，且，是的外接圆，是的直径． （1）求证：是的切线： （2）若，，求直径的长． 12．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E． （1）求证：； （2）若CE＝2，EB＝6，求⊙O的半径． 13．如图，在中，，在AB上，以为圆心，以OA长为半径的圆分别与AC，AB交于D，E两点，直线BD与⊙O相切于点D． （1）求证：； （2）若，D为AC的中点，求BC的长． 14．如图，⊙O是的外接圆，的平分线交⊙O于点，交于点，过点作直线∥． （1）判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求的长． 15．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于点E，CF⊥AB于点F，且CE＝CF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝6，AE＝4.2，求CD的长． 16．如图，在中，，以上一点为圆心、长为半径的圆与相切于点，分别交于点，连接． （1）若连接，求圆的半径长； （2）若，求证：四边形是平行四边形． 17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，圆O是△BEF的外接圆． （1）求证：AC为圆O的切线； （2）若tan∠CBE＝，AE＝4，求圆O的半径． 18．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图，中，，点O在线段上，且，以O为圆心．为半径的⊙O交线段于点D，交线段的延长线于点E． （1）求证：是⊙O的切线； （2）研究过短中，小明同学发现，回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由． 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）见解析；（2） 【分析】（1）由圆内接四边形的性质得出，由及推出，即可推出解决问题； （2）首先证明，通过相似三角形的性质即可求解． 【解析】（1）证明：， ， ， ． ， ， ∴DE平分； （2）， ， ． ， ， ． 【点评】本题综合考查了角平分线的判定，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质等，灵活运用所学知识，学会正确寻找相似三角形解决问题是关键． 2．（1）BD与⊙O相切，理由见解析；（2）HG·HB=2+． 【分析】（1）连接OB，由已知可以得到∠OBD=90°，从而得到BD与⊙O相切； （2）连接AE，OH，由已知可得△FHG∽△BHF，从而HG·HB=，同样由已知可得，进而得到问题答案． 【解