2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与四边形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与四边形 1．如图，抛物线y＝ax2﹣5x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝﹣x﹣8经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点E．如图1所示，当AE⊥BC时，过抛物线线上一动点M（不与点C，B重合），作直线AE的平行线交直线BC于点P，若以A，E，M，P为顶点的四边形为平行四边形．求点M的坐标； （3）如图2所示，连接AC，当直线AE与直线BC所成的锐角等于2∠ACB时，求点E的坐标． 2．如图1，已知二次函数：和二次函数：的图象的顶点分别为、，与轴分别交于点、. (1)函数的最小值为___；当二次函数、的值同时随着的增大而减小时，则的取值范围是___. (2)当时，求证：四边形为矩形. (3)若二次函数的图象与轴的右交点为，当为等腰三角形时，求方程的解. 3．已知抛物线与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴、轴相交于、两点，并且与直线相交于点. (1)试用含的代数式分别表示点与的坐标. (2)如图，设与关于轴对称，且点的对应点恰好落在抛物线上，与轴交于点，连结.求： ①的值； ②四边形的面积. (3)若为抛物线上的一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求出点的坐标. 4．如图1，已知点和点在抛物线上. （1）求的值及点关于轴的对称点的坐标. （2）在轴上找一点，使得最短，求出点的坐标. （3）平移抛物线，记平移后点的对应点为，点的对应点为，点和点是轴上的两个定点，当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由. 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C． （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）设直线与该抛物线的对称轴交于点E，在射线上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点P是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标，并求面积的最大值． 6．如图，抛物线经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为． ①求抛物线的解析式． ②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值． ③过点A作于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标． 7．已知抛物线的对称轴为直线，其图像与轴相交于、两点，与轴交于点 （1）求，的值； （2）直线与轴交于点．    ①如图1，若∥轴，且与线段及抛物线分别相交于点、，点关于直线的对称点为，求四边形面积的最大值；   ②如图2，若直线与线段相交于点，当∽时，求直线的表达式． 8．如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点D的坐标； （3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E． （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？ （3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值． 10．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若△AOB沿AC方向平