第03讲 平面向量的数量积及应用 讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第03讲　平面向量的数量积及应用 【必备知识】 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量和，如图所示，作， 则叫做向量与的夹角，记作． 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．　 (2)范围：夹角的范围是． 当时，两向量，共线且同向； 当时，两向量，相互垂直，记作⊥； 当时，两向量，共线但反向． 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中是与的夹角． 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影 设是，的夹角，则叫做向量在向量的方向上的投影，叫做向量在向量的方向上的投影． (2)的几何意义 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．　　　　　　　　　 4．向量数量积的运算律 (1)交换律：. (2)数乘结合律：． (3)分配律：. 向量数量积的运算不满足乘法结合律，即不一定等于，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线． 5．平面向量数量积的性质 设，为两个非零向量，是与同向的单位向量，是与的夹角，则 (1).(2). (3)当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或.(4). (5). 6．平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量为与的夹角，则 (1)；　 　(3)； (2) (4). 7.常用结论 （1）平面向量数量积运算的常用公式 ①；②. （2）有关向量夹角的两个结论 ①两个向量与的夹角为锐角，则有，反之不成立(因为夹角为时不成立)； ②两个向量与的夹角为钝角，则有，反之不成立(因为夹角为时不成立)． 考点07平面向量数量积的计算 【常见方法】计算向量数量积的三个角度 (1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ是a与b的夹角)． (2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解． (3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．　　 【典例分析07】 1、在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上，若·＝，则·的值为(　　)A． B．2 C．0 D．1 2、若向量与向量共线，则＝(　　) A．0　　　　B．4 C．－ D．－ 3、在如图所示的平面图形中，已知， ，则的值为(　　)A．－15 B．－9 C．－6 D．0 4、已知向量满足，且，则向量在方向上的投影为(　　) A. B．－ C．－ D．－ 5、在中，已知与的夹角为90°，，，为上的一点，且，且，则 的值为________． 考点08　平面向量数量积的性质 角度一　平面向量的模 【常见方法】1．求向量模长的方法 利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝； (2)|a±b|＝＝； (3)若a＝(x，y)，则|a|＝． 2．求向量模的最值(范围)的方法 (1)代数法，先把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解； (2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解； (3)利用绝对值三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求模的最值(取值范围)．　　 【典例分析08】 1、若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________． 2、已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则的最小值为________． 3、已知非零向量满足，且与的夹角为，则(　　) A．6　　　　　B．3 C．2 D．3 4、已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为(　　) A．1 B. C. D. 角度二　平面向量的夹角 【常见方法】求向量夹角问题的方法 (1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由求得． (2)坐标法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则，． (3)解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．　　 5、已知向量a，b满足a＝(4，0)，b＝(m，1)，且|a|＝a·b，则向量a，b的夹角为(　　) A． B． C． D． 6、已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝(　　) A．－ B．－ C． D． 7、已知平面向量的夹角为，且，则与的