第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第02讲　平面向量基本定理及坐标表示 【必备知识】 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数，使. (2)基底：不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． ①基底必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； ②基底给定，同一向量的分解形式唯一； ③如果对于一组基底，有，则可以得到 2．平面向量的坐标运算 (1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设，则， .　　 (2)向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设，则， 3．平面向量共线的坐标表示 设，其中，则；当且仅当时，与等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．　　　 考点04　平面向量基本定理及其应用 【常见方法】平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 【典例分析04】 1、如图，以向量为邻边作平行四边形， ，，用表示. 2、在中，分别是的三等分点，且，若，，则(　　)A.　 B． C. D． 3、已知在中，点满足，点是上异于端点的任意一点，且，则的取值范围是________． 考点05　平面向量的坐标运算 【常见方法】向量坐标运算问题的一般思路 (1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(如题3) (2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．(如题3) 【典例分析05】 1、已知．设，且， (1)求； (2)求的坐标及向量的坐标． 2、已知为坐标原点，向量， 且，则＝________. 3、(一题多解)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC， CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________． 考点6　平面向量共线的坐标表示 【常见方法】平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)利用两向量共线求参数：如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便． (2)利用两向量共线的条件求向量坐标：一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量． (3)三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线． 【典例分析06】 1、已知． (1)当为何值时，与共线； (2)若，且三点共线，求的值． 2、已知向量，若，则实数的取值为(　　) A．－　　　B. C．－3 D．3 3、已知在平面直角坐标系中，三点共线且向量与向量共线，若，则＝(　　) A．－3 B．3 C．1 D．－1 4、在梯形中，，且三个顶点，则点的坐标为________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$