第01讲 平面向量的概念及线性运算 讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第六章 平面向量、复数 第01讲　平面向量的概念及线性运算 【必备知识】 1、向量的基本概念 （1）数量与向量的区别： （2）向量的表示方法： （3）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. （4）零向量、单位向量概念： （5）平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量平行，记作. (6)相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2、向量的线性运算 ①向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 平行四边形法则（起点相同）和三角形法则（“首尾相连”） ②向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫做与的差. 法则：三角形法则（起点相同） 强调：差向量“箭头”指向被减向量 3、重要定理和性质 （1）两个向量平行（共线）的充要条件＝ . （2）平面向量基本定理（平面的任何一个向量都可以用两个不共线向量表示） （3）两个向量垂直的充要条件⊥·＝O. （4）点A、B、C共线的充要条件是：存在实数使 （5）中线向量表示＝（＋）或 4、平面向量的坐标表示与坐标运算 （1）坐标表示法. （2）平面向量的坐标运算 （3）三角形的四心： 内心：三角形三条角平分线的交点。内心在向量的基线上。 外心：三角形三条中垂线的交点。为的外心。 重心：三条中线的交点。为的重心 垂心：三条高的交点。为的垂心 考点01　平面向量的基本概念 【常见方法】向量有关概念的四个关注点 (1)平行向量就是共线向量，二者是等价的； 非零向量的平行具有传递性； 相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性． (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量． 【典例分析01】 1、给出下列命题： ①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③的充要条件是且； ④若，则.其中正确命题的序号是________． 2、给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②为实数)，则必为零； ③为实数，若，则与共线．其中错误的命题的个数为(　　) A．0　　　 　B．1 C．2 D．3 3、设为单位向量，下列命题中：①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则，假命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 考点02　平面向量的线性运算 角度一　向量加、减法的几何意义 【常见方法】解题的关键：一是搞清各向量间的关系，找出问题对应的几何图形，二是熟练运用向量的加、减法法则和运算律以及几何意义求解．　　 【典例分析02】 1、设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　) A．a⊥b B．|a|＝|b| C．a∥b D．|a|>|b| 角度二　向量的线性运算 【常见方法】向量线性运算的解题策略 (1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则． (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．　　 2、如图所示，在△ABC中，D是AB的中点，下列关于向量表示不正确的是(　　) A．＝＋ B．＝＋ C．＝－ D．＝＋ 3、在中，为边上的中线，为的中点，则＝(　　) A. B. C. D. 角度三　根据向量线性运算求参数 【常见方法】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．　　 4、已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2DC，点P在线段BC上，若＝＋λ，则实数λ＝(　　) A． B． C． D． 5、如图，在直角梯形中，，， 且，则＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 6、在正方形中，分别的中点，若，则实数＝________. 考点03　共线向量定理及其应用 【常见方法】共线向量定理的应用 (1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线． (2)证明三点共线，若存在