1.4.1 一元二次函数教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第1章 预备知识 一元二次函数与一元二次不等式 1.4.1 一元二次函数 · 教学目标 1. 熟悉配方法,理解a,b,c(或a,h,k)对二次函数图象的作用. 2．理解由到的图象变换方法. 3. 掌握二次函数的性质. 4. 体会抽象概括的过程，加强直观想象素养的培养. · 教学重难点 · 重点：掌握一元二次函数的图象和性质． 难点：体会用平移的方法研究一元二次函数的图象，并能迁移到对其他函数的图象的研究之中． · 教学过程 · 一、新课导入 回顾旧知：初中阶段，我们学习了一元二次函数，请回顾认识这个函数的过程. 答案：认识这个函数的过程是从开始的，是由简到繁的过程.如图所示： 思考：对于二次函数的图象，可以由函数的图象，经过怎样的变换得到？ 师揭示本节课题：《一元二次函数》． 设计意图：通过对旧知识的回顾，激发学生对一元二次函数的探究，从而引出今天的课题，激发学生的学习兴趣，让学生在对新问题的挑战中，进一步深化数形结合思想． 二、新知探究 探究一：一元二次函数． 分析：一元二次函数的三种形式： （1）一般式： （2）顶点式： （3）两根式： 思考：如何把一元二次函数的一般式化为顶点式？ 答案：配方法.一元二次函数都可以通过配方化为 ，若设，则有（顶点式）通常把一元二次函数的图象叫作抛物线. 例如：一元二次函数，通过配方可化为，其图象为开口向上，以为对称轴，为顶点的抛物线. 探究二：一元二次函数的图象变换规律． 分析：如图所示，一元二次函数的图象可以由的图象右移2个单位长度得到；的图象可以由由的图象右移2个单位长度，下移1个单位长度得到． 知识点：一元二次函数的图象可以由的图象经过向左（或向右）平移个单位长度，再向上（或向下）平移个单位长度而得到． 探究三：一元二次函数的性质． 知识点： （1） 函数的图象是一条抛物线， 顶点坐标是，对称轴是直线x． （2）当时，抛物线开口向上； 在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小； 在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大； 函数在x处有最小值，记作． （3）当时，抛物线开口向下； 在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大； 在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小； 函数在x处有最大值，记作． 小结：二次函数，a决定了二次函数图象的开口大小及方向（，图象开口向上，a值越大，开口越小；，图象开口向下，a值越大，开口越大）﹔h决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”﹔k决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．图象变换口诀：“上加下减，左加右减”. 设计意图：从一元二次函数的三种形式进行探究，从简到繁，唤醒旧知，联系新知，从形式到图象变换，再到性质分析，循序渐进对一元二次函数的变换以及性质进行理解． 三、应用举例 例1： 已知一元二次函数. （1）指出它的图象可以由的图象经过怎样的变换才能得到； （2）指出它的对称轴，试述函数的变化趋势及函数的最大值或最小值． 分析：因为题中给出了一元二次函数的一般形式，所以我们直接利用配方，将它变成的形式，然后通过结合图形，即可得出答案. 解：（1）配方,可得， . 所以，的图象可以由的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到. （2） 由（1）可知：该函数的图象开口向上，对称轴为直线 =-2；在区间上，函数值y随自变量的增大而减小，在区间上,函数值y随自变量的增大而增大；函数在处取得最小值3， 例2：若函数的图象恒在x轴的上方,求实数a的取值范围. 解：当时，函数解析式为，此时函数图象为一条直线，不是恒在x轴的上方，故； 当时，若函数图象恒在x轴上方，则有解得. 综上所述，实数a的取值范围为. 四、课堂练习 1. 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”. （1）二次函数的开口比的开口要大. （2）要得到的图象，需要将向左平移2个单位长度． （3）二次函数一定有最小值. （4）二次函数的对称轴为. 2. 若抛物线的顶点在y轴上,求m的值. 3. 若函数在区间上y随x的增大而减小，求实数a的取值范围. 4. 求函数的最小值. 参考答案： 1. （1）×（2）×（3）×（4）× 解析：由一元二次函数的图象和性质得知. 2. m的值为2. 解析：因为抛物线的顶点在y轴上，所以顶点的横坐标为=0，故 3. 解析：由一元二次函数的性质知，抛物线y在区间上y随x的增大而减小,可得，所以a的取值范围为. 4. 0 解析：将一元二次函数配方得，因为，所以当时，.故y的最小值为0. 五、课堂小结 1. 一元二次函数的图象变换规律：h决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负