2023-2024学年数学苏科版九年级上册压轴题特训卷

2023-2024学年数学苏科版九年级上册压轴题特训卷 1．已知方程①，和方程② (1)若方程①的根为，，求方程②的根； (2)当方程①有一根为时，求证是方程②的根； (3)若，方程①的根是与，方程②的根是和，求的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，一次函数：的图象交x轴于点C，交y轴于点D，与直线交于点P． (1)当，时，求点P的坐标，，并求的度数； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标及直线的关系式； (3)如图2，在（2）的条件下，将直线向下平移9个单位得到直线，直线交y轴于点M，交x轴于点N，若点E为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点F，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，直线：与坐标轴分别交于点A，B，与直线：交于点C． (1)求的面积； (2)如图2，若有一条垂直于x轴的直线以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线方向作匀速滑动，分别交直线，及x轴于点M，N和Q．设运动时间为，连接． ①当时，求t的值； ②试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 4．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． (1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． (2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 5．已知关于x的方程有两个实数根，其中． (1)若，求的值； (2)一次函数的图像上有两点，若，求m的值； (3)边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为和，求该直角三角形的面积． 6．已知的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，点P关于的反演点的定义如下：若点在射线上，满足，则称点是点P关于的反演点．图1为点P及其关于的反演点的示意图．在平面直角坐标系中，的半径为6，与x轴的正半轴交于点A． (1)如图2，，．若点，分别是点A，B关于的反演点．则点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)已知点Q在x轴下方，且，直线上存在点Q关于的反演点，求m的取值范围； (3)如图3，已知直线，点K是直线l上的动点，点是点K关于的反演点．请直接写出线段的长度k的取值范围． 7．阅读下列材料： 若设关于的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：，，，． 于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)请用上面方法分解二次三项式； (2)如果关于的二次三项式能用上面方法分解因式，求的取值范围； (3)若关于的方程的两个根为，，请直接写出关于的方程的两个根（用含，的代数式表示）． 8．综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    9．如图经过A、B、C三个格点，用无刻度直尺作图，用虚线表示． (1)在图1中画的中点D； (2)在图1中的上画一点E，连接，使； (3)在图2中作平分线交于F． 10．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． 图1              图2                 图3                 图4 (1)如图1，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于； (2)如图2，正方形中，点是的中点，在上找一点，使得； (3)如图3，在正六边形中，点是上一点，在上找一点，使得； (4)如图4，在中，是劣弧的中点，