2023-2024学年数学人教版九年级上册压轴题特训卷

2023-2024学年数学人教版九年级上册压轴题特训卷 1．如图，在中，，所对的边分别为．将形如的一元二次方程称为“直系一元二次方程”． （1）请直接写出一个“直系一元二次方程”； （2）求证：关于的“直系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“直系一元二次方程”的一个根，且，求的值． 2．在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点，，点在轴的正半轴上，． （1）如图，求直线的解析式； （2）如图，点在第四象限的直线上，于点，，求点的坐标； （3）如图，在（2）的条件下，点在线段上，点在线段上，射线交直线于点，若，，求点的坐标． 3．如图1．直线l1：y＝与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线l2与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B两点，与直线l1交于点Q（6，a），点P为线段DQ上一动点． （1）求直线l2的解析式； （2）已知在y轴上有一动点E，直线l2上有一动点F，连接PE，PF，EF，当△PBD面积为6时，求△PEF周长的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，将直线l2沿CD方向平移，使其平移后的直线l3恰好经过点P，平移后点B的对应点为B′，点M为y轴上一动点，点N为平面内任意一个动点，是否存在点M和对应的点N，使得以点P，B′，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．【问题情境】 如图1，在ABC中，，AD⊥BC于点D，，，求AD的长． 【问题解决】 小明同学是这样分析的：将ABD沿着AB翻折得到ABE，将ACD沿着AC翻折得到ACF，延长EB、FE相交于点G，请按着小明的思路解答下列问题： （1）由上可得四边形AEGF是　 　（填矩形、菱形、正方形中的一个）； （2）在RtGBC中运用勾股定理，求出AD的长． 【方法提炼】通过问题解决，小明发现翻折是解决问题的有效办法之一，它可以将问题中的相关信息有效地集中、关联与重组．请根据自己的理解，解答下列问题： （3）如图2，在四边形ABCD中，，，，，求AC的最大值． （4）如图3，在四边形ABCD中，，AD＝2，M是AB上一点，且，，，直接写出CD的最大值为　 　． 5．定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”_______． （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． （3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 6．由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同．请解答下列问题． （1）每天增长的百分率是多少？ （2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天． ①现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩9000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 7．综合与探究 如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点的坐标为__________； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线把的面积分成两部分，使，请求出点的坐标； (4)若为抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点，使得？点与点不重合．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是对称轴l上一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和，点在这条抛物线上，其棤坐标为．点的坐标为，以和为边构造． (1)求该抛物线所对应的函数关系式． (2)当的顶点落在抛物线的对称轴上时，求线段的长度． (3)当与某条坐标轴垂直时，求点的坐标． (4)当抛物线的对称轴将分成两部分图形时，设这两部分图形的面积分别为与，当时，直接写出的取值范围． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，． (1)求三角形的面积； (2)点