专题07 抛物线的标准方程及几何性质（8大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）- 【提分笔记】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲与练（人教A版2019）

专题07 抛物线的标准方程及几何性质 知识点1 抛物线的定义 1、抛物线定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹。其中，定点F抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 2、抛物线定义的集合语言表示：. 注意事项： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点2 抛物线的方程与几何性质 1、抛物线的方程与几何性质 标准方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 2、焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为. （1）抛物线，. （2）抛物线，. （3）抛物线，. （4）抛物线，. 知识点3 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 2、抛物线的一般弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为. （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）. （2）, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）直线的方程为. 3、抛物线的焦点弦长 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. 3、抛物线中点弦问题 设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为，代入抛物线方程，，，将两式相减，可得，整理可得： 考点1 抛物线的定义及几何性质 【例1】（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．抛物线没有离心率 B．抛物线的离心率为1 C．若直线与抛物线只有一个交点，则该直线与抛物线相切 D．抛物线一定有一条对称轴，一个顶点，一个焦点 【变式1-1】（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式1-2】（2023·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）抛物线上一点到焦点的最小距离为（ ） A．1 B． C． D． 【变式1-3】（2023·广东云浮·高二校考阶段练习）设抛物线上一点到焦点的距离为1，则点的坐标为 . 【变式1-4】（2023·陕西咸阳·高二校考阶段练习）（多选）已知F为抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（ ） A．焦点 B．准线方程 C．点或 D．焦点到准线的距离为4 考点2 利用定义求距离和差最值 【例2】（2023·江西宜春·高二校考阶段练习）已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ） A．8 B． C． D． 【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·高二嘉兴高级中学校考期中）已知定点，点为抛物线上一动点，点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·广东珠海·高二珠海市第二中学校考期中）已知 Q 为抛物线 C: 上的动点，动点 M 满足到点A(2，0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为 则|QM|+|QF|的最小值是（ ） A． B． C． D．4 【变式2-3】（2023·山东菏泽·高二统考期中）设抛物线的焦点为，准线为，点为上一动点，