复习专题06 等差数列及其前n项和8种常见考法归类-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题06 等差数列及其前n项和8种常见考法归类 思维导图 核心考点聚焦 考点一、利用定义及前n项和求等差数列的通项公式 (一)利用定义求通项 (二)利用前n项和求通项 考点二、等差数列的基本量的计算 (一)等差数列通项公式及其应用 (二)等差数列前n项和的有关计算 (三)与数学文化的结合 考点三、等差数列的判定与证明 考点四、等差数列性质的应用 (一)等差中项的应用 (二)利用等差数列性质计算及应用 考点五、等差数列前n项和的性质 (一)等差数列前n项和与中项性质 (二)等差数列片段和的性质 (三)等差数列前n项和与n的比值问题 (四)两个等差数列前n项和的比值问题 考点六、等差数列前n项和的最值问题 考点七、等差数列偶数项和奇数项和与绝对值问题 (一)等差数列偶数项或奇数项的和 (二)含绝对值的等差数列的前n项和 考点八等差数列的综合问题 知识点1 等差数列的有关概念 1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或. 注：(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． (2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． (3)等差数列（通常可称为数列）的单调性：在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d＝0⇔{an}为常数列；③d<0⇔{an}为递减数列. 2.等差数列的通项公式：；⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型． 等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 3.从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 4.等差中项的概念： 定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 注：在等差数列{an}中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列⇔an＋1＋an－1＝2ann≥2. 知识点2 等差数列的四种判断方法 (1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列； (2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列; (3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列; (4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列; (5)是等差数列⇔是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件. 知识点3 等差数列的性质 （1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，； （2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)； （4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列 （5）若数列是等差数列,则仍为等差数列． （6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 知识点4 等差数列的前n和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 注：（1）等差数列的前n和公式的推导 对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法) ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． （2）等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下. （3）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和； 知识点5 等差数列前n项和的性质