[中学联盟]山东省淄博市周村区萌水中学人教版八年级数学上册12章 全等三角形 课件（4份）

1、画一角的角的平分线. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2、角的平分线的性质: PD⊥OA，PE⊥OB ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ PD＝PE 用数学语言表述： O C B 1 A 2 P D E 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． O A B Q E D C 证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， 　∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 　 QO＝QO（公共边） QD=QE(已知) ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） 　∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE ∴点Q在∠AOB的平分线上． 用数学语言表示为： 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE 用数学语言表示为： 如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F A B C P M N D E F 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F到三边AB、BC、AC所在直线的距离相等。 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M G H M ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH=FM ∴点F到三边AB、BC、AC所在直线的距离相等。 还可以证明点F在∠DAE的平分线上． 利用结论，解决问题 练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建? 想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的? 拓展与延伸 2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处 分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。 证明：∵D是BC的中点 ∴DB=DC(中点的定义) 又∵DE⊥AB,DF⊥AC（已知） ∴在Rt△DEB和Rt△DFC中 BE=CF（已知） DB=DC（已证） ∴ Rt△DEB≌Rt△DFC（HL） ∴DE=DF（全等三角形对应边相等） ∵ DE⊥AB,DF⊥AC，DE=DF ∴ AD是△ABC的角平分线 A B C E F D 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 用数学语言表示为： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE 用数学语言表示为： 拓展与延伸 3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上. A A A A A A A D N E B F M C A 1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平 分线上。 3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径. $$ 角平分线的定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角 C 平分线。 O B A C ∠AOC =∠BOC ∠AOB =2∠AOC =2∠BOC O B A 在△ADC和 △ABC中， AD= AB AC=AC DC=BC ∴△ADC ≌ △ABC （SSS）