8.4 圆锥曲线的综合问题 题型5 证明问题讲义-2024届高三数学二轮复习

考点8.4 圆锥曲线的综合问题 题型5 证明问题 母题模型解读：抛物线的标准方程，注意p>0条件 推理：已知l1过的点和斜率， 得出l1方程 （2023·福建福州·统考二模）已知抛物线E：（p>0）， 过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．联想：弦长公式 l1当l1的斜率为时， (1)求E的标准方程： (2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上． 拆题（1） 得方程为 : （2） 设 由 直线的方程为 由 直线与的交 点在定直线上 =2 方程为 直线与相交， 所以 方程为 【解析】（1）当的斜率为时，得方程为， 由,消元得，，，； 由弦长公式得， 即，解得或（舍去），满足， 从而的标准方程为. （2）因为l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点，所以直线斜率存在 设直线的方程为，设， 由，消去得，则. 设直线的方程为， 同理，消去得可得． 直线方程为，即， 化简得， 同理，直线方程为， 因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可． 由消去， 因为直线与相交，所以， 解得， 所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上． 方法总结：圆锥曲线关于证明的问题 （1）证明直线或圆过定点 证明直线过定点，通常是设出直线方程，由已知条件确定的关系.若 ，则则直线过定点；证明圆过定点,常见题型是证明以AB为直径的圆过定点P,只需证明. （2）证明与斜率有关的定值问题 证明与斜率有关的定值问题通常是证明斜率之和或斜率之积为定值问题,此类问题通常是把斜率之和或斜率之积用点的坐标表示,再通过化简使结果为定值;此外证明垂直问题可转化为斜率之积为,证明两直线关于直线或对称,可转化为证明斜率之和为0. （3）证明与线段长度有关的等式 证明与线段长度有关的等式问题,一般是利用距离公式或弦长公式写出长度表达式,再借助根与系数之间的关系或斜率、截距等证明等式两边相等. （4）证明代数式的值为定值或证明与代数式有关的恒等式 证明此类问题一般是把代数式用点的坐标表示后化简或构造方程求解 子题变式 1．（创新题）（难度★★）已知曲线：，过它的右焦点作直线交曲线于、两点，弦的垂直平分线交轴于点，可证明是一个定值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即， 设直线方程：，且 将双曲线的方程写成标准形式，以便考查a,b,c值. ，，，，，， ，， 弦的中点为，即垂直平分线：， 令，可得，，所以. 故选A. 2．（难度★★）（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知点在抛物线的准线上． （1）求抛物线C的方程； （2）过点P作直线交抛物线于A，B两点，过A作斜率为1的直线l交抛物线C于另一点M．证明：直线BM过定点． 【解析】（1）因为点在抛物线的准线上，则，即， 所以抛物线C的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为：，由消去x得：，设，则，而直线的斜率， 则直线的方程，由消去x得： ，点A的纵坐标，即：点，直线的斜率，则， 因此，有，即， 直线的方程为又，即，显然直线过定点，所以直线过定点. 由可得，故直线过定点 3．（难度★★★）（2023·海南海口·校考模拟预测）已知椭圆经过点，． （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆的右焦点，直线垂直于轴，与椭圆交于点，，直线与轴交于点，若直线与直线交于点，证明：点在椭圆上． 【解析】（1）由题意知，将点代入椭圆方程得，即，所以椭圆C的方程． （2）证明：由（1）知，设，， 直线垂直于轴，与椭圆交于点，，故注意变】变量的取值范围. 设，，不妨令，则，， 联立两直线方程解得，， 从而，， 有，， 从而， 所以点M在椭圆上． 4．（挑战题）（难度★★）（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离为. （1）求C的方程； （2）若C上有两点P，Q满足，证明：是定值. 【解析】（1）设C的方程为，因为焦点到渐近线的距离为.所以，因为C为等轴双曲线，所以.所以C的方程为. 不妨设右焦点为，渐近线方程为.右焦点到渐近线的距离. （2）设，. 由，得， 且，， 所以， 则， 即， 平方后得， 等式两边同时除以，得， 即，即. 所以是定值，且该定值为. 5．（挑战题）（难度★★）（2023·陕西·校联考模拟预测）已知椭圆，斜率为2的直线与椭圆交于两点.过点作的垂线交椭圆于另一点，再过点作斜率为的直线交椭圆于另一点. （1）若为该椭圆的上顶点，求点的坐标； （2）证明：直线的斜率为定值. 【解析】（1）设直线的方程为，因为点的坐标为，所以. 将代入，得， 解得或， 所以点的横坐标为，纵坐标为.