8.4 圆锥曲线的综合问题 题型4 定点问题讲义-2024届高三数学二轮专题复习

考点8.4 圆锥曲线的综合问题 题型4 定点问题 母题模型联想：两个点的坐标 联想：直角三角形面积公式 已知椭圆的上顶点为，右顶点为， 其中的面积为1（为原点），椭圆离心率为．解读：a,c的关系 (1)求椭圆的方程； (2)若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且， 求证：直线过定点．推理：数量积为0或者两 条直线的斜率乘积为-1 拆题（1） 面积为1 椭圆的方程为 ，， , （2）解法一： 联立 由已知，直线的斜率存在时 设的方程为 设，， 直线过定点． 的方程为 解法二： 椭圆的方程为 变形得： 平移轴，建立以 为原点的直角坐标系 设直线方程为 由 设 ， 原坐标系下直线过定点. 直线过定点 【解析】（1）由已知得：，，又， 解得：，， 故椭圆的方程为. （2）证明：当直线的斜率不存在时，不满足的条件． 当直线的斜率存在时，设的方程为， 联立，消去整理得：， ，得① 设，，则，② 由，得，又，， 所以③ 由②③得， 化简得，解得（舍），满足① 此时的方程为，故直线过定点． （2）平移轴，建立以为原点的直角坐标系，如图3所示 在直角坐标系下：已知，设 设直线方程为 易知椭圆的方程为 变形得： 由 联立得： 化简变形得： ，即， ，即 直线过定点 故在原坐标系下直线过定点. 方法总结：平移齐次解决定点问题 一、平移齐次法概念 在圆锥曲线的综合问题中,如果一条直线l与曲线交于A,B两点﹐点是曲线上一点，且或为定值,则直线l必过定点.在求该定点.如图﹐需要将坐标原点平移至点P处,在新坐标系下求解,这种先平移坐标系﹐再构建齐次关系,最后用韦达定理表示斜率关系的方法,叫做平移齐次法. 二、平移齐次解决定点问题的步骤如下. (1)将坐标系平移到以点为原点处; (2)在新坐标系下写出曲线与直线的方程:曲线，直线； (3)将曲线方程作齐次化处理,并写成关于的二次方程的形式: ; (4)设，，用韦达定理表示斜率和或斜率积: ; (5)得到直线在新坐标系中过的定点； (6)将定点转化为原坐标系中的点. 子题变式 1．（难度★★）已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点，且，则直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的方程为，， 则由整理得，所以，，因为，，，所以 解得或， 当时，直线的方程为，直线过点.而，而不在同一直线上，不合题意； 当时，直线的方程为，直线过，符合题意. 有直线的点斜式方程：可以得出直线恒过点.故 转化为，故直线恒过. 故选D. 2．（创新题）（难度★★）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股” “弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的方程为，，，由 得，由根与系数的关系可得：，， 若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点）， 可得，所以，即， 所以，， 所以， 即，解得或（舍） 由已知直线不会过原点，故. 所以直线的方程为，恒过点，故选D. 3．（难度★★★）点，是曲线C：的左右焦点，过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当直线斜率均存在时，令且，则 当直线斜率均存在故，有因为两条直线分别与曲线交于A，B和C，D； ，故两条直线不能与渐近线平行，所以. ，联立与曲线C并整理得：， 且，则， 所以，故， 联立与曲线C并整理得：， 同理，，，可得， 直线，故过定点， 当直线中一条的斜率不存在时，令，则， 所以，，故过， 而，要使以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，且圆面积最小， 若圆的半径为，只需恒成立，故圆最小面积为.故选B. 4．（挑战题）（难度★★）（多选题）（2023·浙江·校联考三模）设椭圆 ，，为椭圆上一点，，点关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则（    ） A．的最大值为 B．直线的斜率乘积为定值 C．若轴上存在点，使得，则的坐标为或 D．直线过定点 【答案】BCD 【解析】对于A，在椭圆上，，， ， 由题意知：，的对称轴为， 若，即时，， 一元二次函数的最值公式. ；当，即时， ； 综上所述：A错误；对于B，关于轴对称，，，，，B正确；对于C，假设存在点，;lzbnm,使得，，则∽，；qwd，直线，，，，即或，C正确；对于D，，，，直线，即，直线过定点，D正确.故选BCD． 5．（挑战题）（