8.4 圆锥曲线的综合问题 题型3 定值问题讲义-2024届高三数学二轮复习

考点8.4 圆锥曲线的综合问题 题型3 定值问题 母题模型 解读：渐近线的方程 （2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线交C于点P，推理：焦点到渐 近线的距离为b=1 垂足为Q，，，M、N为双曲线左右顶点． （1）求双曲线C的方程；联想：设直线 方程 联想：双曲线的定义，得到2a=4 （2）设过点的动直线l交双曲线C右支于A，B两点（A在第一象限），若直线AM，BN的斜率分别为，．试探究与的比值是否为定值．若是定值，求出这个定值：若不是定值，请说明理由； 拆题（1） 双曲线C的方程为 （2） 设直线AB： 大招快解：利用整理后的韦达定理求解，韦达定理可得，即， ，即与的比为定值． 【解析】（1）因为，所以，由题意可得，所以， 所以双曲线C的方程为. （2）设，直线AB的方程为，由，消元得．则，且， （法一）∴ ； （法二）由韦达定理可得，即， ∴ ，即与的比为定值． 方法总结：圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 （1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． （2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． （3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 方法总结：平移齐次解决定点问题 一、平移齐次法概念 在圆锥曲线的综合问题中,如果一条直线l与曲线交于A,B两点﹐点是曲线上一点，且或为定值,则直线l必过定点.在求该定点.如图﹐需要将坐标原点平移至点P处,在新坐标系下求解,这种先平移坐标系﹐再构建齐次关系,最后用韦达定理表示斜率关系的方法,叫做平移齐次法. 二、平移齐次解决定值问题的步骤如下. （1）将坐标系平移到以点为原点处; （2）在新坐标系下写出曲线与直线的方程:曲线，直线； （3）将曲线方程作齐次化处理,并写成关于的二次方程的形式: ; （4）设，，用韦达定理表示斜率和或斜率积: ; （5）将直线l在旧坐标系中所过定点坐标转化为新坐标系下的坐标; （6）得到斜率和或斜率积为定值. 子题变式 1．（难度★★）（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】依题意，设，由，得为的中点且，则，易得直线的垂线的方程为.令，得，故，由抛物线的定义易知，故 抛物线的定义得到焦半径公式： ，故选A. 大招快解：特殊值法.不妨设，则，则，易得直线的垂线的方程为.令，得，故，又，故. 2．（创新题）（难度★★）（2022·河北唐山·统考三模）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上顶点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】椭圆的面积，即①.因为点P为椭圆C的上项点，所以.因为直线与椭圆C交于A，B两点，不妨设，则且 根据直线和椭圆关于原点对称，A，B两点在直线和椭圆上，故两个点关于原点对称. ，所以.因为的斜率之积为，所以，把代入整理化简得：②①②联立解得：.所以椭圆C的长轴长为2a=6.故选B. 3．（难度★★★） （2023·广西梧州·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为,．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列结论正确的有（     ）个． ①； ②为定值； ③双曲线的离心率； ④当点异于顶点时，△的内切圆的圆心总在直线上． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意，双曲线渐近线方程是，圆的圆心，半径是1，则，可得（舍去），①错误．设，则，,，即，渐近线方程是，则， 为常数，②正确；由，所以 设在双曲线上，双曲线得渐近线方程是则点到两个渐近线得距离积为，即. ，离心率为，③正确；设△的内切圆与三边切点分别为，，，如图， 由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，④正确；故选C. 4．（难度★★）已知A，B是双曲线上的两个动点，动点P满足，O为坐标原点，直线OA与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为______． 【答案】 【解析】设,则由,得，则，， 点,在双曲线上，，则 ，设分别为直线,的斜率，根