8.4 圆锥曲线的综合问题 题型2 最值范围问题讲义-2024届高三数学二轮复习

考点8.4 圆锥曲线的综合问题 题型2 最值范围问题 母题模型 解读：圆心到的距离 等于到直线的距离 推理：圆心轨迹为抛物线 在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切， 若该动圆圆心的轨迹为曲线．联想：直线的点斜式方程 （1）求曲线的方程； （2）已知点，倾斜角为的直线与线段相交（不经过点 或点）且与曲线交于、两点，求的面积的最大值，及 此时直线的方程．推理：三角形面积公式 拆题（1） 圆心的轨迹方程： 圆心到的距离等于 到直线的距离 （2） 方程组 的方程为 设 到直线的距离为 令 的面积 的最大值 利用导数，当时，有最大值32 【解析】（1）由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离， 大招快解：求最值考虑使用均值的不等式：当且仅当 等号成立. ，当且仅当即等号成立.所以 . 由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：． （2）由题意，可设的方程为，其中 由方程组，消去，得① 当时，方程①的判别式成立． 设，则， ∴ 又因为点到直线的距离为 ∴S△=． 解法一：令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，有最大值32， 故当直线的方程为时，的最大面积为． 解法二：， 所以，当且仅当，即时等号成立. 故当直线的方程为时，的最大面积为． 方法总结：一、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种: （1）几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值; （2）代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值. 二、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略: （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围; （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系; （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围; （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围; （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 子题变式 1．（难度★★）（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示：易知圆的圆心，半径， 抛物线焦点，准线方程，由抛物线的定义可知：点P到y轴的距离，所以，由图可知：当共线，且在线段之间时，最短，而，故有, 圆外一点和圆上一点的最短距离为圆外一点和圆心的距离减去半径. 即，解得：.故选D. 2．（难度★★）（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，点A，B是椭圆C的长轴顶点，直线与椭圆C交于P，Q两点，记，分别为直线AP和直线BQ的斜率，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，不妨设 ，不妨设，，则，则，，， 故同号，故，当且仅当时取等 基本不等式：，（当且仅当时取等） 号，即的最小值为，故选C． 3．（创新题）（难度★★★）（2023·山东日照·统考一模）已知椭圆：的左、右焦点为，，点为椭圆内一点，点在双曲线：上，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点在双曲线：上，所以.所以椭圆左焦点坐标为.因为，所以, 根据椭圆方程，得到焦点坐标. 所以. 因为，所以.点为椭圆内一点，所以，所以或. 点为椭圆：内一点，则 综上：.故选A. 4．（挑战题）（难度★★）（多选题）（2023·山东济宁·统考一模）已知，是椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，，分别是与的离心率，且是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BD 【解析】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故，错误； 对选项B：，即，，， 故，，故，即， 因为，即. 即，正确；对选项C：设，，，若最大值为，则， 利用辅助角公式： ，，即，不成立，错误；对选项D：设，，，若最大值为，则，，，即，，，成立，正确；故选BD. 5．（难度★★★）（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且满足，设弦的中点M到y轴的距离为d，则的最小值为__________． 【答案】1 【解析】由抛物线可得准线方程为，设，由余弦定理可得,由抛物线定义可得P到准线的距离等于 ，Q到准线的距离等于，M为的中点，M到准线的距离为， 根据梯形的中位线定理 则弦的中点M到y轴的距离，故，又， 则，当且仅当时，等号成