8.3 直线与圆锥曲线的位置关系 题型3 圆锥曲线的切线讲义-2024届高三数学二轮复习

考点8.3 直线与圆锥曲线的位置关系 题型3 圆锥曲线的切线 母题模型联想：求切线的斜 率可以利用导数 解读：抛物线准线为 （2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知点在 抛物线的准线上，过点P作C的两条切线， 切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ）推理：点P是两条 切线的交点 推理：直线AB是 切点弦所在直线 A． B． C． D． 拆题 抛物线 准线为 两条切线的斜率 在准线上 切点为 切线PA： 切线PB： A、B的直线方程为 即. ， 是PA、PB交点 大招快解：过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：.即所求切点弦所在直线方程为化简得. 方法总结：一、过圆锥曲线上一点的切线方程： （1）过椭圆上一点的切线方程：；（2）过双曲线上一点切线方程为； （3）过抛物线上一点切线方程为； 二、过圆锥曲线外一点的两条切线，两个切点所在直线方程 （1）当在椭圆的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：. （2）当在双曲线的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：。 （3）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： 规律是：留一代一速算在点切线+留一代一速算切点弦. 子题变式 1．（难度★★）过双曲线上一点作双曲线的切线，若直线与直线的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由于双曲线在点处的切线方程为，故切线的斜率；因为，则，则，即双曲线的离心率，故选C． 双曲线的离心率满足即 2．（创新题）（难度★★）（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，过P点作椭圆的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为椭圆 上一点，所以过P作椭圆的切线， 由于椭圆在点处的切线方程为. 切线斜率，所以PM的斜率，直线PM的方程为， 令，得，所以，由题， ，所以， 因为. ．故选C． 3．（难度★★★） 已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线，若与轴交于点B，AF与抛物线的一个交点为（异于点），则的面积为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【解析】把代入，可得，则抛物线方程为，所以 由题可知切线的斜率存在，设切线的方程为，代入，可得， 由，解得，故切线的方程为，所以 大招快解：过抛物线上一点的切线方程为即. 又，所以直线AF的方程为，由可得或，故，所以，又点到直线AC的距离，故的面积.故选B. 4．（挑战题）（难度★★）（多选题）（2023·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，由直线上任一点P向椭圆作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（    ） A．恒为锐角 B．当垂直于x轴时，直线的斜率为 C．的最小值为4 D．存在点P，使得 【答案】ABD 【解析】对于A项，设切线方程为 联立得：， ∵直线与椭圆相切，故则， 直线与椭圆相切，即直线与椭圆只有一个交点，即一元二次方程有相等的两个根 ∴切线PA的方程为，同理切线PB的方程为 大招快解：过椭圆上一点的切线方程：.故过的切线方程为和. 而P点在上，故，又满足该方程组，故， 显然过定点即椭圆左焦点.以为直径的圆半径最大无限接 近，但该圆与一直相离，即始终为锐角，A正确； 对于B项，由A得，轴时，，易得， 大招快解：当在椭圆的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：.过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：. ，故B正确；对于C项，由B知轴时，此时，故C错误；对于D项，取中点，若则，即为等腰三角形，，化简得，由A知：，整理得：，显然存在P满足题意，故D正确；故选ABD. 5．（挑战题）（难度★★）（2023·浙江·校联考三模）已知椭圆，椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点且，过A作椭圆E的切线l，并分别交于C、D点．连接，与交于点E，并连接．若直线l，的斜率之和为，则点A坐标为_____________． 【答案】 【解析】由椭圆可得， 因为点为椭圆上一点且，故切线的斜率一定存在， 设直线l的程，由得 因为直线l与椭圆E相切，所以，解得 因为，所以，所以， 所以，即 所以直线l的方程为，即 大招快解：过椭圆上一点的切线方程.过作椭圆的切线l方程为. 分别令和得，.所以直线方程为，直线方程为，所以联立可得与交点，因为，所以， 所以由得，即，因为，所以，即. 6.（难度★★）如图所示，已知是双曲线右支上任意一点，双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于两点，则__________. 【答案】1 【解析】如下图所示，设双曲线渐近线上的点，点， 当时，过点的切线方程为， 当时，设过点的切线方