8.3 直线与圆锥曲线的位置关系 题型2 弦中点问题与点差法讲义-2024届高三数学二轮复习

考点8.3 直线与圆锥曲线的位置关系 题型2 弦中点问题与点差法 母题模型联想：中点弦问 题“点差法” 解读：强调点在椭圆内 椭圆方程为椭圆内有一点， 以这一点为中点的弦所在的直线方程为， 则椭圆的离心率为______．推理：直线 的斜率为-2 联想：椭圆的 离心率公式 拆题 直线与椭圆交于 相减得 AB中点 大招快解：设为椭圆弦（不平行轴）的中点，则有：.即，. 方法总结：一、关于中点弦问题的点差法： 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为，，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 二、椭圆（双曲线）中点弦的斜率积公式 （1）设为椭圆弦（不平行轴）的中点，则有：. 注意：对于焦点在y轴的椭圆，则有 （2）设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有. 注意：对于焦点在y轴的双曲线，则有 子题变式 1．（难度★★）（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】设、，则，，两式相减可得，为线段的中点，，，，又，，，即，，故选D. 大招快解：设为椭圆弦（不平行轴）的中点，则有：.即，故. 2．（2023·河南郑州·统考二模）已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，的中点为，因为都在椭圆上，所以，作差可得， 中点弦问题应用点差法进行求解出直线的斜率 即，所以，即，因为，所以，又因为为△BMN的重心，所以， 三角形重心定理：重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍 所以，则，所以，整理得，即，所以，则，所以离心率.故选A. 3．（难度★★）（2023·湖南·模拟预测）已知O为坐标原点，，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线E的右支上一点，若，双曲线E的离心率为，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线E的标准方程为 B．双曲线E的渐近线方程为 C．点P到两条渐近线的距离之积为 D．若直线与双曲线E的另一支交于点M，点N为PM的中点，则 【答案】ACD 【解析】根据双曲线的定义得，，故，由，得， 所以，所以双曲线E的标准方程为，渐近线方程为，即，所以A正确，B不正确；设，则点P到两条渐近线的距离之积为，所以C正确；设，，因为P，M在双曲 大招快解：点到渐近线距离的积为 .所以. 线E上，所①，②，①－②并整理得，，即，所以，所以D正确．故选ACD． 4．（创新题）（难度★★）（2023·广东揭阳·校考模拟预测）已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的有（    ） A．当时，的周长为 B．若的中点为，则（为坐标原点，与不重合） C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若的最小值为，则椭圆的离心率 【答案】ABD 【解析】因为弦过椭圆的左焦点，所以的周长为，所以A正确； 椭圆定义，椭圆上的点到两个焦点的距离的和为2a 设，，则，有，，所以，由作差得：，所以，则有，所以B正确； 直接利用椭圆（双曲线）中点弦的斜率积公式即可. 设，，， 所以， 因为，即，所以. 则有，可得，所以C错误； 由过焦点的弦中垂直于轴的弦最短，则的最小值为，则有，即，解得，所以，故D正确． 故选ABD. 5．（难度★★）（2023·福建厦门·统考二模）不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为____________． 【答案】2 【解析】设， 则，两式相减得，即，即 ， 所以，因为是AB垂直平分线，有，所以， 大招快解：由点差法得. 即，化简得，故. 故答案为： 6．（挑战题）（难度★★）（2023秋·江苏南京·高二南京市大厂高级中学校考期末）已知点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线l与双曲线相交于A,B两点，且满足P是线段的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）已知点在双曲线上 所以，整理得：，解得：，则 所以双曲线方程为：. （2）由题可知若直线存在则直线的斜率存在，故设直线的方程为： 且设交点 则 ，两式相减得： 由于为中点，则 则 即有直线的方程：，即 检验判别式为，方程无实根． 故不存在过点的直线与该双曲线相交A,B两点，且满足P是线段的中点. 学科网（北京）股份有限公司 $$