8.3 直线与圆锥曲线的位置关系 题型1 弦长问题讲义-2024届高三数学二轮复习

考点8.3 直线与圆锥曲线的位置关系 题型1 弦长问题 母题模型 推理：将抛物线转化为 标准方程 联想：抛物线 焦点坐标（0，2） （2023·四川成都·统考二模）已知过抛物线的焦点 ，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则 （    ）联想：焦点 弦长公式 解读：该直线为抛物 线焦点弦所在直线 A．32 B． C． D．8 拆题 题意可得直线的 方程为 与抛物线 方程联立 抛物线定义可知 大招快解:：由经过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则.故. 方法总结：关于圆锥曲线的焦点弦问题两个圆位置关系： 相交或内切或外切 （1）经过椭圆的焦点F且倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，则AB称为椭圆的焦点弦，且. （2）经过双曲线的焦点F且倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，则AB称为椭圆的焦点弦，且. （3）经过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则. 经过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则. 子题变式 1．（难度★）（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）已知直线与拋物线交于A，B两点，若（为坐标原点）的面积为，则（     ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】由题知直线过抛物线的焦点，所以，联立方程 该直线是焦点弦所在直线 得，显然，设，则，所以，因为原点到直线的距离为，所以，，解得.故选D. 大招快解：直接利用公式（是直线的倾斜角），所以，所以. 2．（挑战题）（难度★★）已知双曲线的左､右焦点分别为，， 一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以， 双曲线的渐近线方程为 则双曲线方程为，，，所以直线为，设，由，得，则，所以，因为，，所以，因为的周长为36， 所以，所以，得，所以双曲线方程为 ，故选C. 大招快解：由经过双曲线的焦点F且倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，则AB称为椭圆的焦点弦，且，由渐近线为 得到，，，设的周长为，所以焦点弦长公式：，解得,双曲线方程为 . 3．（难度★★）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______． 【答案】 【解析】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，所以． 圆锥曲线的弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）． 大招快解：经过双曲线的焦点F且倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，则. 4．（难度★★）已知椭圆的左右焦点分别为，，若过点及的直线交椭圆于A，B两点，则 ． 【答案】 【解析】由题意，，，则直线AB的方程为，即，令，则，， ，直线方程与椭圆方程联立， 得：， 椭圆的焦半径公式：， ，所以． 5．（创新题）（难度★★★）（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知椭圆C:的离心率为，F是左焦点，过F且倾斜角为45°的直线交C于点A，B．设M，N分别是AF和BF的中点，O为坐标原点，若，则的面积为______． 【答案】 【解析】设右焦点为,连接, 为的中点,为中点, ,同理， ,，, 三角形的中位线等于底边的一半 ,椭圆方程可化为, 设直线, ，由得，,， ， ，，， 椭圆的定义：椭圆上的点到两个焦点的距离的和为2a ，原点到直线的距离为， 所以， 6.（难度★★）（2023·甘肃兰州·校考一模）已知椭圆：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8． （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，求的面积． 【解析】（1）依题意，的周长为， 椭圆的定义：椭圆上的点到两个焦点的距离的和为2a 解得，而离心率，则椭圆半焦距，， 所以椭圆的方程为． （2）由（1）知，，，由对称性不妨令， 则直线的方程为， 由消去并整理得，解得，，，，所以的面积. 直接求交点坐标或利用韦达定理求弦长 三角形面积公式选择底边乘以高的一半更简单 学科网（北京）股份有限公司 $$