8.2 圆锥曲线的方程与性质 题型2 椭圆、双曲线的离心率讲义-2024届高三数学二轮复习

考点8.2 圆锥曲线的方程与性质 题型2 椭圆、双曲线的离心率 母题模型解读:椭圆离心率公式 推理:由离心率可求得c值 已知椭圆的离心率为, 过右焦点且斜率为的直线与相交于两 点,若,则( )联想:向量的坐标运算 得出坐标间的关系. A. B.1 C.2 D. 令 拆题 由离心率解得 过直线: 椭圆 . 大招快解:经过椭圆的焦点F且倾斜角为的直线与椭圆交于A,B两点,且,则.即解得故为. 方法总结:一、椭圆,双曲线离心率的正弦口算公式 (1)在椭圆中,焦点分别为,点P为椭圆上一点,在中,,,,则椭圆的离心率为. (2)在双曲线中,焦点分别为,点P为椭圆上一点,在中,,,,则双曲线的离心率为. 二、椭圆离心率的最大张角公式 如图在椭圆中, (1)焦点三角形的顶角为,当点P位于椭圆的上、下顶点时,张角有最大值,进而可得,即离心率满足. (2)顶点三角形的顶角为 ,当点Q位于椭圆的上、下顶点时,张角 有最大值,进而可得离心率满足. 三、椭圆,双曲线离心率的焦比弦公式 (1)经过椭圆的焦点F且倾斜角为的直线与椭圆中交于A,B两点,且,则. (2)经过双曲线的焦点F且倾斜角为的直线与双曲线中交于A,B两点,且,则. (2)经过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线与抛物线中交于A,B两点,且,则. 四、由双曲线的渐近线求离心率 双曲线的渐近线斜率为, 渐近线对应的倾斜角为,那么, 双曲线为时, 子题变式 1.(难度 )(2023春 云南昆明 高三校考阶段练习)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则此双曲线的离心率e为( ) A. B. C. D.2 【答案】A 【解析】∵双曲线的一条渐近线的倾斜角为,,∴该渐近线的方程为,∴,解得或(舍去),∴, ∴双曲线的离心率为.故选A. 大招快解:双曲线的离心率为,. 2.(难度 )(2023春 浙江 高三开学考试)已知抛物线,过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若,则( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】设,联立,得, ,, 圆锥曲线弦长公式 解得,,,,, 消去整理可得,又,.故选A. 大招快解:经过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线与抛物线中交于A,B两点,且,则.若,解得,,故,所以,解得. 3.(挑战题)(难度 )过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于,两点,若,则双曲线的离心率为( ) A. B. C.2 D. 【答案】D 【解析】过右焦点的直线的倾斜角,不妨设直线方程为:,联立方程,得,设,,,因为,所以,所以 ,所以,所以,所以,因为, 所以,所以,所以,所以.故选D. 大招快解:经过双曲线的焦点F且倾斜角为的直线与双曲线中交于A,B两点,且,则,即,解得. 4.(创新题)(难度 )(2023 四川成都 统考二模)设,分别是双曲线的左、右焦点.为双曲线右支上一点,若,,则双曲线的离心率为( ) A. B.2 C. D. 【答案】A 【解析】利用双曲线的定义及标准方程,得到,,又,,因为,所以;故,即,故选A. 大招快解:因为,,据双曲线定义,故.双曲线离心率的正弦口算公式得. 5.(挑战题)(难度 )(2023春 河北承德 高三河北省滦平县第一中学校考阶段练习)已知椭圆=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】由PF1⊥PF2,知 F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤c.因为e=,0<e<1,所以≤e<1. 大招快解:焦点三角形的顶角为,当点P位于椭圆的上、下顶点时,张角有最大值,进而可得,即.即解得. 6.(难度 )(2023春 山东济宁 高三校考开学考试)已知是抛物线的焦点,过作一直线交抛物线于两点,若,则直线与坐标轴围成的三角形的面积为_. 【答案】 【解析】试题分析:,设,则, 依题意有由②得:,③ 由①③可得:,∴或. 当时,方程为,与坐标轴交点为 当时,方程为,与坐标轴交点为 ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为. 大招快解:经过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线与抛物线中交于A,B两点,且,则.故,方程为,与坐标轴交点为;当时,方程为,与坐标轴交点为;∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为. 学科网(北京)股份有限公司 $$