8.2 圆锥曲线的方程与性质 题型1 圆锥曲线的定义及其应用讲义-2024届高三数学二轮复习

考点8.2 圆锥曲线的方程与性质 题型1 圆锥曲线的定义及其应用 母题模型 联想：抛物线的定义，点到焦 点的距离等于点到准线的距离 解读：注意点A的位置 已知抛物线C：的焦点为F，直线交抛物线C联想：点到点距离公 式或是利用抛物线定 义 于A，B两点，且点A在第一象限，若为等腰直角三角形， 则（    ）推理：∠AFB为直角 A． B． C． D． 拆题由抛物线的对称 性知∠AFB为直角 且 联立直线与 抛物线方程 焦点 直线AF的方 程为 根据等腰直角三角形 大招快解：方法一：由抛物线的定义:点到焦点的距离等于点到准线的距离 ； 方法二：根据等腰直角三角形的性质. 方法总结：椭圆，双曲线，抛物线的定义即应用 （1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2距离的和等于常数2a(2a> ）的动点的轨迹. 双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2距离的差的绝对值等于常数2a(2a< ）的动点的轨迹. 抛物线的定义：平面内到一个定点F的距离和一条定直线l（点F不在直线l上）的距离相等的点的轨迹. （2）利用圆锥曲线的定义解决轨迹问题，最值问题，判定某些位置关系等问题时，涉及圆锥曲线上的点与两个焦点的问题，常用第一定义.要加强数形结合、化归思想的应用，以便得到解题的最佳途径. 子题变式 1．（难度★★）（2023·云南昆明·安宁市第一中学校考模拟预测）已知点，，动点到直线的距离为，，则（    ） A．点的轨迹是圆 B．点的轨迹曲线的离心率等于 C．点的轨迹方程为 D．的周长为定值 【答案】C 【解析】点，，动点到直线的距离为，，设动点的坐标为，可得：，化简得点的轨迹方程为，所以的轨迹是椭圆，所以A错误，C正确；离心率为：，所以B不正确；△的周长为定 直接用a,b求离心率 值：，所以D不正确；故选C． 2．（创新题）（难度★★）（2022·广西柳州·统考三模）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，得， 所以， 所以，可得动点到这点和定直线的 转化成点到点的距离和点到直线的距离公式 距离比为常数，由双曲线的定义可知，解得，故选B. 3．（难度★★）（2023·河南焦作·统考一模）以抛物线的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A，B两点，过B且平行于x轴的直线交C于点P，过A且平行于x轴的直线交l于点Q，且，则△PBF的周长为（    ） A．16 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【解析】因，则，准线为.由，如图，设，则 ，得，则.得直线AF方程： 根据抛物线定义 ，代入，得， 将代入，可得.则周长， 则.故.故选B. 根据抛物线定义：点到交点的距离等于点到准线的距离 4．（挑战题）（难度★★）（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考模拟预测）设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由双曲线：可得，，所以， 所以，， 由双曲线的定义可得，所以， 所以，令，则， 由双曲线的性质可知：， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，此时点为双曲线的右顶点， 即的最小值为，故选C. 5．（难度★★）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为_________； 【答案】 【解析】设动圆的半径为，由已知得：圆可化为标准方程：， 即圆心，半径，圆可化为标准方程：， 即圆心，半径，，经分析可得，，则. 由题意可知：，两式相加得，， 这是椭圆的定义，点到两定点的距离的和大于两个定点间的距离 所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，可设方程为， 则，，，，，所以轨迹的方程为. 6. （挑战题）（难度★★）（2023·四川·校联考模拟预测）为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则到轴的距离为__________. 【答案】 【解析】不妨设，，，，则，为椭圆的焦点，所以，又，所以， 根据椭圆定义 且，所以在以、为焦点的椭圆上，且，所以，所以为椭圆上一点，由，解得，则， 故到轴的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$