8.1 直线和圆 题型6 圆与圆的位置关系讲义-2024届高三数学二轮复习

考点8.1 直线和圆 题型6 圆与圆的位置关系 母题模型 联想：有以BC直径的为外接圆M上 解读：圆心坐标为，半径为 （2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知直角的直 角顶点在圆上，若点，， 则的取值范围为（    ） 推理： 圆M圆心 半径为 A． B． C． D． 拆题 圆心 半径为 圆 点A在圆D上 点A在两 个圆上 圆M圆心 半径为 直角的 直角顶点为 点A在以为 直径的圆M上 两个圆位置关系： 相交或内切或外切 解不等式得出答案：C 大招快解：考虑两个圆的特殊位置，外切或内含，， ，解得，两圆也可相交，故. 方法总结：圆与圆位置关系 圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝ (r1＞0)， 圆C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝(r2＞0)， 两圆的圆心距d＝|C1C2|＝， d＞r1＋r2⇔圆C1与圆C2外离，如图①所示； d＝r1＋r2⇔圆C1与圆C2外切，如图②所示； |r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔圆C1与圆C2相交，如图③所示； d＝|r1－r2|⇔圆C1与圆C2内切，如图④所示； d＜|r1－r2|⇔圆C1与圆C2内含，如图⑤所示. 2. 代数法： 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， 两圆的方程联立得方程组，则有： 方程组有两组不同的解⇔圆C1与圆C2相交； 方程组仅有一组解⇔圆C1与圆C2外切或内切； 方程组无解⇔圆C1与圆C2外离或内含. 子题变式 1．（难度★★）（2023·安徽合肥·校考一模）已知，是圆：上的两点，过点，的两条切线与直线三线共点，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，如图所示： 圆：的方程可化为：所以圆心． 设两条切线的交点为，则以为直径的圆的圆心为， 设以为直径的圆的半径为， 则． 所以以为直径的圆的方程为． 大招快解：以为直径的圆方程为，即可以直接得以为直径的圆的方程为. 过点作圆：的切点分别为，，两圆的交点为，，即两圆的公共弦为．将两圆的方程相减可得直线的方程为， 即，令得．所以直线必过定点．故选A． 2．（创新题）（难度★★）（2023·四川达州·四川省开江中学校考模拟预测）已知圆与圆，圆I与圆均相切，则圆I的圆心I的轨迹中包含了哪条曲线（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【解析】由圆可得，由圆可得，设圆I的半径为，当圆I与圆同时外切或内切时，如图， ①当同时外切时，；②当同时内切时，； 故始终，此时I的轨迹为的中垂线； 垂直平分线的点到线段两端的距离相等 当圆I与圆一个内切一个外切时，如图， ①当圆I与圆内切，与圆外切，则； ②当圆I与圆内切，与圆外切，则， 故，所以此时I的轨迹是以为焦点的双曲线， 到两定点的距离的差的绝对数大于两定点的距离的点的轨迹是双曲线 故选：C． 3．（难度★★★）（2023·重庆·统考二模）已知点，圆，若在圆上存在唯一的点使得，则可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】根据可知，点的轨迹为以为直径的圆，, 圆的直径所对的圆周角是直角，故点的轨迹为以为直径的圆 圆的圆心, ,圆的圆心, ，若在圆上存在唯一的点使得,故圆和圆相切，即或, ,即或(无解)，即或, 故或，故选AD． 4．（挑战题）（难度★★）（多选题）（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知圆，圆，则（    ） A．无论k取何值，圆心始终在直线上 B．若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为 C．若圆O与圆的公共弦长为，则或 D．与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为 【答案】ACD 【分析】求出圆Ck的圆心坐标即可判断选项A；根据两圆有公共点的条件求出的范围即可判断选项B；求出公共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出的值即可判断选项C；根据的值求出圆Ck的半径，利用两圆的半径求出外公切线长即可判断选项D. 【详解】圆Ck的圆心坐标为，在直线上，A项正确；若圆O与圆Ck有公共点，则1≤|OCk|≤3，所以，解得或，B项错误； 两个圆相交，相外切和相内切三种情况 将圆O与圆Ck的方程作差可得公共弦所在直线的方程为，则圆心O到直线的距离，则，解得或，C项正确；当时，圆O与圆Ck外切，圆心距为3，半径差为1，则外公切线长为，D项正确．故选ACD． 4．（挑战题）（难度★★）（2023·江苏南通·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆．若圆上存在两点A，B，且圆上恰好存在一点P，使得四边形OAPB为矩形，则实数a的取值集合是___