8.1 直线和圆 题型5 圆的切线问题讲义-2024届高三数学二轮复习

考点8.1 直线和圆 题型5 圆的切线问题 母题模型 推理：PACB四点共圆 距离等于半径 恒过定点（-1，0） 联想：圆心到切线的 距离等于半径 恒过定点（-1，0） （2023·贵州毕节·统考一模）已知点在直线上， 过点作圆的两条切线，切点分别为，则 圆心到直线的距离的最大值为（    ） 解读：求直线的方程. A． B． C．1 D． 拆题 即 与圆相离 为直线上 的一点，则 圆心到直线的距离， 在以为 直径的圆上 外接圆方程为 直线： 两圆做减法 到直线的距离的 最大值. 直线恒过定点 圆心到直 线的距离的最大 方法总结：一、过圆上点的圆的切线方程（留一代一速算在点切线） 大招快解：故作圆的两条切线，则经过两切点的直线的方程为：，又，故，直 线恒过圆内定点.最大值为. （1）若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. （2）过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 二、过圆外一点做圆的切线，切点弦所在直线方程（留一代一速算在切点弦） 过圆外一点,作圆的两条切线，则经过两切点的直线的方程为：﹒ 特别地，当时，直线方程为﹒ 子题变式 1．（难度★★）（2023·四川·校联考模拟预测）已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线经过点，且与圆相切，则, 故直线的方程为，即.故选A. 快解大招：留一代一速算在切点弦，即，即所求直线方程为. 2．（创新题）（难度★★★）（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的动点为，过作圆的切线，切点分别为， 则过的圆是以直径的圆，该圆的方程为：.由可得的直线方程为：. 快解大招：留一代一速算在点切线，即. 原点到直线的距离为，故圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为，故选A. 3．（难度★★）（多选题）（2023·山东临沂·统考一模）已知圆，点，点在圆上，为坐标原点，则（    ） A．线段长的最大值为6 B．当直线与圆相切时， C．以线段为直径的圆不可能过原点 D．的最大值为20 【答案】ABD 【解析】根据题意可知的圆心，半径，如下图所示： 易知，当且仅当三点共线（且点在中间）时，等号成立，即A正确；当直线与圆相切时，由勾股定理可得，所以B正确；若以线段为直径的圆过原点，由直径所对圆周角为直角可得，易知当在轴上时，满足题意；所以以线段为直径的圆可能过原点，即C错误；设点，易知， 因为点P在圆上 则，所以，即的最大值为20，即D正确；故选ABD. 4．（挑战题）（难度★★）（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．若是圆的一条直径，则的最小值为 D．直线恒过定点 【答案】ABD 【解析】圆心为，圆的半径为，由圆的几何性质可知，，.对于A选项，，当时，取最小值，且，所以，，A对；对于B选项，由切线长定理可知，，，，所以，，所以，，B对；对于C选项，易知为的中点， ，C错；对于D选项，设点，则，线段的中点为，，所以，以为直径的圆的方程为，即圆的方程为，将圆的方程与圆的方程作差可得，即，故直线的方程为，变形可得.由可得 快解大招：留一代一速算在切点弦，过做的切线，切点所在直线的方程为，化简得. ，所以，直线恒过定点，D对.故选ABD. 5.（难度★★）（2023·河南焦作·统考模拟预测）写出一条与圆和曲线都相切的直线的方程：___________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】设切线与圆相切于点，得到切线的方程，与联立，由判别式为零求解. 【解析】设切线与圆相切于点，则， 切线的方程为，即， 若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝1. 将与联立，可得， 令， 联立解得或或或 所以切线的方程为或或或. 6.（难度★★）（2023·河南·统考模拟预测）已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______． 【解析】圆，即， 由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则，，，所以，因为，所以， 利用两个直角三角形面积为四边形 又，所以，所以，