8.1 直线和圆 题型4 圆的弦长问题讲义-2024届高三数学二轮复习

考点8.1 直线和圆 题型4 圆的弦长问题 题型5 圆的切线问题 留一代一速算在点切线+留一代一速算切点弦 母题模型推理:圆心直线 恒过定点(-1,0) 解读:圆心(0,1)半径为1 (2023 浙江 校联考三模)在平面直角坐标系上,圆, 直线与圆交于两点,,则当的面积解读:注意参 数的取值范围 最大时,( )联想:三角形 的面积公式 A. B. C. D. 拆题 圆心 半径 圆心到直线 的距离为d 大招快解:利用二次函数求最值:, 设,二次函数的对称轴为,此时.故 方法总结:求圆的弦长的两个方法 圆的性质 利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+2解题 交点坐标 若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长 2.与弦长相关的问题 利用弦长、弦心距、半径的关系构造方程或方程组,解出其中的未知量. 子题变式 1.(难度 )(2023 云南昆明 统考一模)已知直线与圆:交于两点,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】圆:的圆心为,半径,∵圆心到直线的距离,则, 可得,且,∴. 已知三边求角选择余弦定理计算 故选D. 2.(创新题)(难度 )(2023 河南 开封高中校考模拟预测)已知曲线的方程为,曲线关于点的对称曲线为,若以曲线与两坐标轴的交点为顶点的四边形面积为,则的值为( ) A. B.1 C.0或 D.0 【答案】C 【解析】曲线:是以点为圆心,为半径的圆,点关于点的对称点,则曲线是以点为圆心,为半径的圆,圆的方程为,圆与两坐标轴各有两个交点,又圆的圆心在y轴上,则原点必在圆内,因此圆的内接四边形两条对角线互相垂直,其中一条对角线长为 这两条对角线为两个坐标轴,是互相垂直的 ,设另一条对角线长为,于是,解得,因此圆截x轴所得弦长为,在中,令得,,即,从而,解得或,所以的值为0或.故选C . 3.(挑战题)(难度 )(多选题)已知圆,直线l:,则( ) A.存在,使得l与圆C相切 B.对任意,l与圆C相交 C.存在,使得圆C截l所得弦长为1 D.对任意,存在一条直线被圆C截,所得弦长为定值 【答案】BD 【解析】由题意得圆,所以圆心,半径,对于A,B:易知圆心到直线的距离,所以恒成立,所以,即对任意,l与相交,故A错误,B正确;对于C:若截所得弦长为1,则,即,因为,所以关于的方程无实数解,即不存在,使得圆截所得弦长为1,故C错误; 对于D:圆的方程可变形为,令,解得 这是经过圆和直线交点的圆系方程 ,所以圆过定点和,所以存在直线被圆截,所得弦长为定值,故D正确.故选BD. 4.(难度 )(2023 内蒙古包头 统考一模)已知直线与圆交于A,B两点,直线垂直平分弦,则弦的长为_. 【答案】 【解析】圆可以化为,圆心,半径,直线过圆心,则,所以, 根据垂径原理可得直线过圆心, 因为直线与直线垂直,所以,则, 圆心到直线的距离,则, 5.(难度 )(2023秋 辽宁辽阳 高三统考期末)已知直线与圆交于两点,则_;若P是圆C上的一点,则面积的最大值是_. 【答案】 【解析】由题意可知圆的圆心坐标为,半径, 则圆心到直线的距离,故; 因为是圆上的一点,所以点到直线距离的最大值为, 圆上一点到直线的距离的最大值,即可得到三角形面积的最大值. 所以面积的最大值是. 6.(难度 )已知圆和动圆交于A,B两点. (1)若直线过原点,求a; (2)若直线交轴于Q,当面积最小时,求. 【解析】(1)由圆和动圆, 可得圆心坐标分别为,半径都是, 因为圆和动圆交于A,B两点, 可得圆心距小于半径之和,,即,解得, 又由两圆相减,可得公共弦直线,因为直线过原点,可得,解得,检验成立,所以实数的值为. (2)由直线, 令,即,解得,即 则, 所以当且仅当时取得等号,且满足 利用基本不等式,故 ,此时直线,又由圆心到直线距离为,所以弦长为. 学科网(北京)股份有限公司 $$