8.1 直线和圆 题型3 与圆有关的最值问题讲义-2024届高三数学二轮复习

考点8.1 直线和圆 题型3 与圆有关的最值问题 母题模型解读：直线恒过定点（1，3） （2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）设，过定点的 动直线，和过定点的动直线交于点 是圆上的任意一点，则下列说法正确的有（    ）推理：直线利用 圆心到直线距离 等于半径 推理： 时距离最大 A．直线与圆相切时 B．到距离的最大值是 推理：当 时所得弦长最短 C．直线与圆相交的最短弦长为 D．的最大值为联想：求出点P的轨迹 【答案】BC 拆题 作图发现，当时直线也与圆相切 A错误 直线过的定点为 到距离的最大值是 当时到的距离最大 B正确 正确 弦长为 当时所得弦长最短 D错误 设 大招快解：利用基本不等式：， 所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC. 得点B关于直线的对称点：因为，故. 方法总结：与圆有关的最值问题 （1）圆心到定直线的距离的最小值，即是圆心到直线的距离，直接借助点到直线的距离计算即可； （2）圆上动点到定直线的距离的最小值，即转化成圆心到直线距离减去圆的半径；圆上动点到定直线的距离的最大值，即转化成圆心到直线距离加上圆的半径. （3）形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为圆上动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． 子题变式 1．（难度★★）（2023·贵州毕节·统考二模）等腰三角形ABC内接于半径为2的圆O中，，且M为圆O上一点，的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】以圆O的圆心O为原点，射线OA为x轴建立平面直角坐标系，连接，如图， 因为，则，而圆O的方程为，设，故, 利用圆的参数方程（注意角的取值范围） ，当且仅当，即时，，所以的最大值为6.故选B. 2．（创新题）（难度★★★）（2023·四川凉山·二模）如图所示，正方体棱长为2，点P为正方形内（不含边界）一动点，角平分线交于点Q，点P在运动过程中始终满足． ①直线与点P的轨迹无公共点； ②存在点P使得； ③三棱锥体积最大值为； ④点P运动轨迹长为． 上述说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为为的角平分线，在中，由正弦定理可知，设，则 ，所以， 在中，由正弦定理可知，， 因为，所以，且，设，， 因为点P为正方形内（不含边界）一动点，所以需考虑自变量的范围 所以，所以，，所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内部的弧，且，点到该直线的距离为，所以与圆无公共点，①正确；若，设，所以，所以，所以，即，联立，解得 所以点满足条件，所以②正确；若最大，则到距离最大，即到与圆的交点处，但不在正方形边界上，所以最大值取不到，故③错误；令，得到点，又因为，所以，所以为等边三角形，所以，由为点的运动轨迹，故，故④正确；故选C. 弧长公式： 3．（挑战题）（难度★★）（多选题）（2023·江苏·统考一模）已知点，，点P为圆C：上的动点，则（    ） A．面积的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BCD 【解析】，圆C是以为圆心， 半径为的圆.对于A，面积的最小值为点P动到圆C的最低点时，，，故选项A错误； 对于B，连接交圆于点，当点P动到点时，取到最小值为，故选项B正确； 对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，设切点为,，， ，故选项C正确； 对于D，，当点P动到点时，取得最大 向量数量积的几何意义：与即在上的投影数量的乘积， 值，即在上的投影，，故选项D正确；故选BCD. 4．（挑战题）（难度★★）（多选题）（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知，是圆：上的两点，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若点到直线的距离为，则 C．若，则的最大值为4 D．的最小值为 【答案】BD 【解析】依题意，如图所示： 对于A：若，在中，，所以，所以，故A选项错误； 对于B：若点到直线的距离为，由垂径定理易得：， 解得：，故B选项正确； 对于C：， 其几何意义为，到直线的距离之和的倍， 设中点为，则有（梯形中位线）， 因为，所以，所以在直角三角形中，，所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，即， 所以的圆心到直线的距离为， 所以，所以， 故C选项错误；对于D：因为，所以当的夹角为时取得最小值，故D选项正确；故选BD. 5.（难度★★）（2023·四川成都·统考二模）若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为______． 【答案】 【解析】直线过定点，直线过定点， 一定挖掘题目的隐含条件：