8.1 直线和圆 题型2 对称问题讲义-2024届高三数学二轮复习

考点8.1 直线和圆 题型2 对称问题 母题模型 （2023·天津·统考一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头 两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一解读：直线上点到 两个定点的距离和 最小问题. 个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之 后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才推理：两个定点在 定直线的同侧 能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为解读：已知 两个定点. ，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程 为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）联想：利用两点间线段 最短，求其中一个点关 于直线的对称点 A． B．5 C． D． 拆题 B,的中点在 已知直线上 设关于 的对称点为 最短总路程为 大招快解：点关于直线对称的点的坐标是﹔得点B关于直线的对称点：因为，故. 方法总结：求某点关于直线的对称点的坐标 一、求某一点关于一条斜率为1或—1的直线的对称点的坐标. （1）若A(a,b)关于直线 (斜率为1)的对称点为B(m,n),将A点横坐标代人直线解析式中得到B点的纵坐标,将A点纵坐标代入直线解析式中得到B点的横坐标,即 （2）若A(a,b)关于直线 (斜率为一1)的对称点为B(m,n),将A点横坐标代入直线解析式中得到B点的纵坐标将A点纵坐标代入直线解析式中得到B点的横坐标,即 二、求某一点关于一条的直线的对称点的坐标（点关于线对称的d好公式） 点关于直线对称的点的坐标是﹔ 三、“将军饮马”问题: 如图，A，B为直线l同侧的两点，试在l上找一点P，使得|PA|+|PB|取最小值. 作法:作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则点P即为所求点. 子题变式 1．（难度★）已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆与圆关于直线对称，则圆心与圆关于对称 可得，化简得，解得，又两圆半径相等，故圆 大招快解：关于的对称点：将的横（纵）坐标代入得对称点纵（横）坐标：即，，故对称点为. 的方程为，故选B. 2．（难度★★）（2023·福建福州·统考二模）已知圆，关于直线对称的圆记为，点E，F分别为，上的动点，EF长度的最小值为4，则（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】由题易知两圆不可能相交或相切，则如图，当过两圆圆心且与对称轴垂直又 接近于对称轴时，长度最小，此时圆心到对称轴的距离为4，所以， 点到直线得距离公式 解得或.故选D. 3．（创新题）（难度★★）（多选题）（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知分别为圆与圆上的两个动点，为直线上的一点，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AC 【解析】圆的标准方程为，所以其圆心为，半径为，圆的标准方程为，所以其圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为，则解得即. 如图， 连接交直线于点，连接，此时三点共线，最小，则 利用两边之和大于第三边（两点间线段最短）结论 最小，所以3，故A正确、B错误；因为，所以当取到最大值且点共线时， 利用两边之差小于第三边结论 取到最大值．由图可知，，所以的最大值为，故C正确；时，不能共线，最小值不存在，D错误.故选AC. 4．（挑战题）（难度★★）（多选题）（2023·山东青岛·统考一模）已知、是平面直角坐标系中的两点，若，，则称是关于圆的对称点．下面说法正确的是（    ） A．点关于圆的对称点是 B．圆上的任意一点关于圆的对称点就是自身 C．圆上不同于原点的点关于圆的对称点的轨迹方程是 D．若定点不在圆上，其关于圆的对称点为，为圆上任意一点，则为定值 【答案】BCD 【解析】对于A选项，取点，设点关于圆的对称点为，则存在使得，，可得，则，所以，，因此，点关于圆的对称点是，A错；对于B选项，由题意可知， 由新概念的定义可得对称点坐标 设点关于圆的对称点为点，则存在实数，使得，所以，，可得，即，因此，圆上的任意一点关于圆的对称点就是自身，B对；对于C选项，设点，其中，设点，因为点在圆上，则，可得，由题意可知，存在实数，使得，即，所以，，可得，因此，点的轨迹方程为，C对；对于D选项，设点，则，设点，由题意可知，存在实数，使得，且，则，所以，、同向，且，所以，，又因为，所以，，所以，为定值，D对.故选BCD. 5.（难度★★）（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知圆关于直线对称，圆，请写出一条与圆都相切的直线方程：_____________. (写一条即可) 【答案】(或或，答案不唯一，写一条即可) 【解析】因为圆关于直