11.4.1直线与平面垂直导学案第二课时(1)-2022-2023学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

学科 数学 年级 时间 年 月 日 课题 11.4.1直线与平面垂直 课型 新授课 课时 第2课时 主备教师 学习目标 掌握直线与平面垂直的性质及其性质定理，利用性质定理解决有关垂直与平行的相互转化问题． 1、 知识填空 复习回顾： 1．直线与平面垂直的定义 (1)文字叙述：如果直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都 ，就说直线l与平面α互相垂直． (2)符号表示： (3)图形表示： 2．判定定理 (1)文字叙述：如果一条直线与一个平面内的 垂直，则这条直线与这个平面垂直． (2)图形语言： (3)符号语言： (4)作用：证明直线与平面 问题1：直线与平面垂直的性质定理 知识点1．性质定理1 (1)文字叙述：如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也 这个平面． (2)图形语言： (3)符号表示： 证明： 知识点2．性质定理2 (1)文字叙述：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 (2)图形语言： (3)符号表示： 证明： 上述证明过程也说明，过空间中一点，有且仅有一条直线与已知平面垂直。 例1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC． 求证：(1)MN∥AD1； (2)M是AB的中点． 【变式训练】　如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交． 求证：EF∥BD1. 问题3.点到平面的距离 利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进而得到几何体的体积等. 另外，因为直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是通过点到平面的距离来定义，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离. 例1.如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离. 例2.如图所示三棱锥中，，且，，求三棱锥的体积。 【变式练习】 在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,取对角线BD上一点E,连接PE,PE⊥DE,则PE的长为　　　　　.  问题4：三垂线定理 例4.如图所示，已知AB是平面的一条垂线，AC是平面的一条斜线，，求证： 例4的结果可以简述为“平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线” 知识点：三垂线定理 (1)平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线；平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影． (2)图形语言： (3)已知AB⊥α，AC是平面α的一条斜线，l⊂α，①若l⊥BC，则l⊥AC；②若l⊥AC，则l⊥BC． 练习： 典例讲解 例1：地面上插有一根直杆，将地面看成平面，直借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由 例2.如图所示的四棱锥中，已知底面是一个平行四边形，，且，求证：面 判断或证明线面垂直的方法 (1)如果直线a垂直于平面α内的任意一条直线，那么直线a⊥平面α； (2)如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直； (3)利用常用结论：①如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；②如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 四、知识测评 1、(2021·兰州质检)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 2、 下列说法中正确的个数是( ) ①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 3、已知m，n表示两条不同直线