专题06 数列-【备考期中期末】2023-2024学年高二数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

专题06 数列 一、数列的概念 1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列. 2.对数列概念的理解 （1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． （2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． （3）数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 二、数列的表示 1.序号与项对应关系法：简记为 2.图像法：数列的函数的图像不是连续的曲线，而是横坐标为正整数的一串孤立的点. 3.数列的通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. 三、数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N＋ 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数，使 摆动数列 的符号正负相间，如1，－1,1，－1，… 四、数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 五、an与Sn的关系 数列的前项和和通项的关系：则 特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段． 六、数列的性质 数列的性质----主要指： （1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列； （2）数列的周期性. 七、等差数列定义 1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或. 2.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 3.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 八、等差数列的通项公式 1.； 2.当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数． 3.说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列. 九、等差中项 1.定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 2.等差数列中，从第2项起，每一项都是它相邻两项的等差中项 十、等差数列的前和的求和公式 1.公式： . 2.当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数． 3.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 11、 等差数列旳性质 （1）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……； （2）在等差数列中，对任意，，，； （3）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （4）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列. （5）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列． （6）若数列是等差数列,则仍为等差数列． （7）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②. （8）等差数列中，,则,. （9）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． （10）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. 12、 等比数列 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零） 十三、等比数列的通项公式 . 说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则. 13、 等比中项 如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 十四、等比数列的前和的求和公式 一般地，设等比数列的