第03讲 利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形（拓展提升）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第03讲 利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线及构造等腰三角形 （拓展提升） 思维导图 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角形的三线合一） 1.过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 2.利用倍角关系构造新等腰三角形 考点剖析 考点一、等腰三角形中底边有中点时，连中线 例题：已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，． (1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明． 【解析】（1）连接， ∵，，点是的中点 ∴，且，平分， ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∴（ASA） ∴． （2），理由如下： 连接， 由（1）可知：，， ∴ 在和中， ∴（ASA），∴， ∵，∴． 【变式训练】 1．如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为 ．    【答案】 【解析】如图，连接，    ∵在中，，，点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴要的面积最大，则的面积最小即可， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则当最小时，的面积最小， 当时，最小，此时， ∴． 故答案为：． 2．在中，，，点为的中点． (1)若，两边分别交，于，两点．如图1，当点，分别在边和上时，求证：； (2)如图2，若，当点，分别在和的延长线上时，连接，若，则______; (3)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长． 【解析】（1）证明：如图，连接， ∵，，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，，点为的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． （3）解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵，，点为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 考点二、等腰三角形中底边无中点时，作高线 例题：如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． (1)求证：BD＝CE； (2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 【解析】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F． ∵AB＝AC，AD＝AE． ∴BF＝CF，DF＝EF， ∴BD＝CE． （2）∵AD＝DE＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠ADE＝60°． ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA． ∴∠DAB∠ADE＝30°． ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°． 【变式训练】 1．如图，已知，点C在边上，，点D，E在边上，，若，求的长．    【解析】如图，作于，    ，， ， 在中，，， ， ， ． 2．已知在中，，且=．作，使得． (1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)； (2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论． 【解析】（1）中，，且=,          ． （2） 如图，过点作于E点， 中，，， ， 中， ， ， ,=，               ． 在和中，,,， ∴≌，     ∴，     ∴． （3） ①如图，作于，于， ∵与的面积相等， ∴， 又∵ , ∴≌(HL) ∴ 即=      ②如图，作于，作垂直于的延长线于． 则． ∵，， ∴， ∵与的面积相等， ∴． ∴≌． ∴． ， ∴， 综上，与相等或互补． 考点三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 例题：如图： (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 【解析】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， 故答案为：； （2）如图2，延长交于点F， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3），证明如下： 如图3，延长