第02讲 等腰三角形中易漏解或多解的问题（拓展提升）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第02讲 等腰三角形中易漏解或多解的问题（拓展提升） 思维导图 核心考点聚焦 1.求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 2.当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 3.求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 4.三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 1.求等腰三角形的周长，要先考虑三角形的三边是否能构成三角形. 2.等腰三角形中，底和腰不明确时，要分类讨论，是多解问题. 考点剖析 考点一、求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 例题：已知一个等腰三角形的三边长分别为，，，且为腰长．求这个等腰三角形的周长． 【解析】①当时，解得， 则这个等腰三角形三条边长分别为3、3、4，能构成三角形， 此时这个等腰三角形的周长为； ②当时，解， 则这个等腰三角形三条边长分别为1、2、1，不能构成三角形（舍去）． 综上所述，这个等腰三角形的周长为10． 【变式训练】 1．已知等腰三角形的两边长分别是，，若，满足，那么它的周长是（　　） A．11 B．13 C．11或13 D．11或15 【答案】C 【解析】，，， ，， 解得：，， 当作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：， 当作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：， 故选：C． 2．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【解析】当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故选D． 考点二、当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 例题：等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是 ． 【答案】或 【解析】当的角是底角时，则底角为， 当的角是顶角时，则底角为， 故答案为：或． 【变式训练】 1．如果等腰三角形的一个角的度数为 ，那么其余的两个角的度数是______． 【答案】，或， 【解析】①当是顶角时，其余两个角是底角且相等，则有：； ②当是底角时，则有：顶角为； 故答案为：，或，． 2．如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________． 【答案】或或 【解析】①如图1， 点P在上时，，顶角为， ②∵，， ∴， 如图2，点P在上时，若， 顶角为， 如图3，若， 则顶角为， 若， 则顶角为， 综上所述，顶角为或或． 故答案为：或或． 考点三、求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 例题：如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若△APE是腰长为的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或或 【解析】，为的中点， ， 四边形是长方形，， ，， 有三种情况：，作的垂直平分线，交于， 此时在的垂直平分线上， 即，则， ， 即此种情况不存在； 当时，由勾股定理得：； 当时，有和两种情况，过作于， 由勾股定理得：， 即；， 所以的长是或或， 故答案为：或或． 【变式训练】 1．如图，在中，已知：，，，动点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或或 【解析】在中，， 由勾股定理得：， 为等腰三角形， 当时，如图所示， ， 则， 即， 当时，如图所示， ， 则， 当时，如图所示，设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得， ， 综上所述：的值为或或， 故答案为：或或． 2．在中，，，，D是直线上的动点，若是等腰三角形，则的长度是 ． 【答案】9或或3 【解析】①如图1，若是等腰三角形，当是底边时D在的延长线上， ，， 是直角三角形，，， ， ， ， ， ． 图1 ②如图2，当为腰时，为另一个腰，所以， 是直角三角形，， ， ， ， ． 图2 ③如图3，当是腰，为底时， ， ， ， ， ， ， ， ． 图3 故答案为：9或或3 考点四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 例题：在中，，边上的中线把三角形的周长分成和的两部分，求三角形各边的长． 【解析】如图，    ∵是边上的中线， 即， ∴， 若，则， 又∵， 联立方程组:, 解得：， 三边能够组成三角形； 若，则， 又∵， 联立方程组, 解得：， 三边能够组成三角形；