第01讲 等腰三角形和等边三角形-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第01讲 等腰三角形和等边三角形 思维导图 核心考点聚焦 1.根据等腰三角形等边对等角求解 2.根据等腰三角形三线合一进行求解 3.根据等腰三角形三线合一进行证明 4.等腰三角形的性质和判定综合应用 5.等边三角形的性质 6.等边三角形的性质和判断综合应用 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2： 文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角形的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 2.等腰三角形的判定 （1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形； （2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边) 3.等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60°； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 4.等边三角形的判定 （1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形； （3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 1.利用等腰三角形的定义解决多解问题. 2.等腰三角形和等边三角形的判定. 3.利用三线合一解决求值和证明的相关问题. 考点剖析 考点一、根据等腰三角形等边对等角求解 例题1.等腰三角形的底角等于，则它的顶角是 ． 【答案】100 【解析】等腰三角形的底角等于， 又等腰三角形的底角相等， 顶角等于． 故答案为：100． 【变式训练】 1．一个等腰三角形的两条边长分别为和，则第三边的长为 ． 【答案】8 【解析】①若一腰长为，则底边为，则第三边的长为， ，故能组成三角形； ②若一腰长为，则底边为，则第三边的长为， ，故不能组成三角形． 故答案为：8． 2．已知等腰三角形一个内角的度数为．则这个等腰三角形底角的度数为 ． 【答案】或 【解析】分两种情况： 当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 考点二、根据等腰三角形三线合一进行求解 例题2.如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为 ． 【答案】 【解析】如图，作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．如图，在中，，平分并交于点，则 ． 【答案】10 【解析】，平分， ， ， 故答案为：10． 2．两个同样大小的含角的三角尺，按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一直线上，为中点，已知． (1)求的长． (2)求的长． 【解析】（1）连接，如下图， 根据题意，，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （2）根据题意，， 又∵，， ∴在中，， ∴． 考点三、根据等腰三角形三线合一进行证明 例题3.如图，点，在的边上，， (1)若求的度数； (2)求证： 【解析】（1）∵，，， ∴， ， ∴， （2）过点作于. ∵， ∴， ∴. 【变式训练】 1．在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧），点D是射线上一个动点（不与点C重合），点E在线段上，且． (1)如图1，当点E与点C重合时，在图中画出线段．若，则的长为 （用含a的式子表示）； (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①求证：； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【解析】（1）当点E与点C重合时，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若，过点A作于点M，如图1： 则， ∵，∴， 在与中， ∴，∴，即的长为， 故答案为：； （2）①证明：过点A作于点M、点N，如图2： 则， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下： 在上截取，连接，如图3： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由①知：， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 考点四、等腰三角形的性质和判定综合应用 例题4：如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 【解析】（1）， ， ∵， ∴， ，为的中点， ， ， ∴； （2）证明：平分， ， 又∵，