第04讲 勾股定理（10大考点+过关检测）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）

第04讲 勾股定理 1．勾股定理 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：． 【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． （2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 公式变形 ，，，，，. 2．勾股定理的证明 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理． 对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等． 1.已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式． 2.勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题． 下面是勾股定理的几种常用证明方法： 方法1 等面积法：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 图（1）中，所以. 方法2 赵爽弦图法：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中，所以. 方法3 总统证明法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． ，所以. 3.利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助线构造出直角三角形．经常用到的数学思想是分类讨论思想和方程思想. 考点剖析 【考点1】利用勾股定理求边长 【例1】如图，在中，，，点在边上，，，垂足为，与交于点， (1)求的长； (2)求的长． 【变式1】在中，，，，，为垂足．求的长． 【考点2】以直角三角形的三边长为边长的图形面积 【例2】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，，则的值为 ． 【变式2】如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 ． 【考点3】勾股定理与网格问题 【例3】如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，则点C到的距离为 ． 【考点4】利用勾股定理解翻折问题 【例4】如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，求的长. 【变式4】如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边的中点E处，折痕为，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【考点5】勾股定理与弦图问题 【例5】清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理（如图），连接，若，，则正方形的面积为 ． 【变式5】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是 ． 【考点6】利用勾股定理求两坐标间的距离 【例6】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，P为x轴上的一点，当为直角三角形时点P的坐标为 ． 【变式6】点到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，到原点的距离为 ． 【考点7】利用勾股定理求最值问题 【例7】如图，在中，，，，是边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角，且，连接，则的最小值为 ． 【变式7】如图，在中，，，点D为上一点且，点F和点E分别是线段和上一动点，连接，，，则三角形周长的最小值为 ． 【考点8】利用勾股定理证线段之间的平方关系 【例8】如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【变式8】如图，在等腰直角中，，点D是上一点，作等腰直角，且，连接 (1)求证：； (2)请你判断线段之间的数量关系？并说明理由． 【考点9】勾股定理的证明问题 【例9】如图，四边形中，，，A是边DE上一点，过点C作交的延长线于点B． (1)求证：； (2)设的三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 【变式9】如图，已知点C，B，D在同一条直线上，且，． (1)求证：； (2)若设，，，试利用这个图形验证勾股定理． 【考点10】构造直角三角形解三角形 【例10】如图，在中，，，，求的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他