第01讲 二次根式（4大考点+过关检测）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）

第01讲 二次根式 1．二次根式的概念 一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 理解二次根式的概念，要把握以下四点： （1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”． （2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． 2．判断二次根式有意义的条件 二次根式中被开方数的取值范围，二次根式中的被开方数是非负数．如果有分母，则还得满足分母不为零. 【规律方法】二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 3．二次根式的性质与化简 二次根式的基本性质： （1）； （双重非负性） （2）； （任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． （3）． 【规律方法】（1）若，则a=0，b=0； （2）若，则a=0，b=0； （3）若，则a=0，b=0； （4）若，则a=0，b=0，c=0． 4．代数式 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式．例如3，x，x+y，，-ab，，x3都是代数式． 【注意】（1）代数式中不能含有关系符号（“=”“>”或“<”等）． （2）将两个代数式用关系符号（“=”“>”或“<”等）连接起来的式子叫关系式．方程和不等式都是关系式．如2x+3>3x-5就是关系式． 1．判断一个式子是不是二次根式时，只看它的初始的外在形态，不看它计算或化简的结果．如，2是的计算结果，是二次根式 2．求使代数式有意义的字母的取值范围的类型： （1）二次根式型：被开方数大于或等于0； （2）分式型：分母不等于0； （3）复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分． 3．运用二次根式的性质化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值． 运用进行化简，当a的符号无法判断时，就需要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏． 考点剖析 【考点1】二次根式的定义 例1．下列式子，一定是二次根式的共有（    ） ，1，，，， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1】下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【考点2】二次根式的有意义的条件 例2．如果有意义，那么的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【变式2】如果二次根式有意义，则a的取值范围是 ． 【考点3】利用二次根式的性质进行化简 例3．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：． 【变式3】已知：，化简： ． 【考点4】利用二次根式的性质进行求值 例4．已知，那么 ． 【变式4】（2023上·四川达州·八年级期中）已知，求的值． 过关检测 一、单选题 1．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．化简结果为的式子为（　　） A． B． C． D． 3．若x，y都是实数，且，则的值是（   ） A． B． C．2 D． 4．若，是两个连续自然数，且满足，则的算术平方根为（    ） A． B． C．20 D． 5．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若为二次根式，则的取值范围为 ． 7．若，那么的结果是 8．已知为实数，且，则 ． 9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 10．问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： ． 三、解答题 11．求下列二次根式中字母a的取值范围． (1)． (2)． (3)． (4)． 12．若实数x，y满足，求的值． 13．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 14．无论x取何实数，代数式都有意义，化简式子． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式 1．二次根式的概念 一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 理解二次根式的概念，要把握以下四点： （1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”． （2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． 2．判断二次根式有意义的条件 二次根式中被开方数的取值范围