第04讲 整式的乘法-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第04讲 整式的乘法 思维导图 核心考点聚焦 1.计算单项式乘单项式 2.利用单项式乘法求字母或代数式的值 3.计算单项式乘多项式及求值 4.单项式乘多项式的应用 5.利用单项式乘多项式求字母的值 6.计算多项式乘多项式 7.(x+p)(x+q)型多项式乘法 8.已知多项式乘积不含某项，求字母的值 9.多项式乘多项式——化简求值 10.多项式乘多项式与图形面积结合 11.多项式乘法中的规律性问题 12.整式乘法混合运算 一、单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误是，将系数相乘与指数相加混淆； ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 二、单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm． 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 三、多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn． 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积. 即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab． 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 一、不含某一项 按正常的计算法则去计算，然后不包含那一项，只需要让那一项的系数为0即可. 二、看错题，求正确结果 先按看错的去计算，求出参数的值，然后代入，求出正确结果即可. 考点剖析 考点一、计算单项式乘单项式 例题1．计算： ． 【答案】 【解析】 ． 故答案为：． 【变式训练】 1．计算： ． 【答案】 【解析】，故答案为：． 2．计算：（1） ； （2） ； （3） ． 【答案】；； 【解析】（1）； （2）； （3）． 故答案为：；；． 考点二、利用单项式乘法求字母或代数式的值 例题2．若，则的值为__________． 【答案】4 【解析】因为 ， 所以， 所以①，②． 所以，得． 故答案为：4． 【变式训练】 1．若单项式与的积为，则 ． 【答案】-2 【解析】由题意，得，，则．故答案为：-2． 考点三、计算单项式乘多项式及求值 例题3．先化简，再求值：，其中． 【解析】 ， 当时，原式． 【变式训练】 1．先化简，再求值：，其中． 【解析】 ， 当时，原式． 考点四、单项式乘多项式的应用 例题4．如图，正方形和正方形的边长分别为a，b． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积． (2)当，时，阴影部分的面积是多少？ 【解析】（1）因为正方形和正方形的边长分别为a，b， 所以 ； （2）当，时， ． 【变式训练】 1．学校课外学习小组想靠着一面足够长的旧墙，开垦一块长方形的实验田，如图所示，实验田的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围起来，并在平行于墙的一边上留1米宽装门，已知现有竹篱笆长共27米． (1)设垂直于墙面的一边长为米，则边的长用含的代数式可表示为 ______米； (2)用含的代数式来表示实验田的面积； (3)当时，实验田面积为多少平方米？ 【解析】（1）米，故答案为：； （2）因为，，所以平方米； （3）当时，（平方米）． 考点五、利用单项式乘多项式求字母的值 例题5．若对任意都成立，则 ． 【答案】1 【解析】， ， ， 因为原式子对任意都成立， 所以，， 解得，， 所以． 故答案为：1． 【变式训练】 1．若，则的值为 ． 【答案】 【解析】