寒假作业06 等腰（等边）三角形（16道经典题型+5道中考真题）-【寒假分层作业】2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业06 等腰（等边）三角形的性质与判定 1.等腰三角形：有两条边相等的三角形是等腰三角形. 腰：相等的两边；底边：不相等的那条边；顶角：两腰的夹角；底角：腰与底边的夹角. 2.等腰三角形的性质与判定： 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称等边对等角）. 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）. 判定：若一个三角形的两角相等，则这个三角形是等腰三角形（简称等角对等边）. 3.等边三角形的性质与判定： 等边三角形：有三条边相等的三角形是等边三角形. 性质：等边三角形的三条边和三个角都相等，且每个角都等于 60°. 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 判定2：有两个角是60°的三角形是等边三角形. 判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 1．下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（    ） A．， B． C． D．三个角的度数之比是 2．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A．或 B． C． D．或 3．等腰三角形的两条边长分别为3，7，则等腰三角形的周长为 ． 4．如图，为等边三角形，为边上的高，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺按要求作图． (1)在图①中，作的平分线； (2)在图②中，以点为顶点作三角形，使所作三角形的面积等于面积的． 5．如图，在中，，．作出边的垂直平分线，交于点，交于点，连接． (1)下列结论正确的是 （填序号）． ①平分；②；③的周长等于；④． (2)结论正确的说明理由． 6．已知是上一点. (1)用无刻度的直尺和圆规作图，过点作于点，延长交延长线于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：是等腰三角形． 7．如图，在中，，且． (1)在边的延长线上求作点，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的作图条件下，若，求的度数． 8．已知：如图，中，，平分，平分，过D作直线平行于，分别交，于点E，F． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 9．如图，点D，E，F在等边的边上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 10．如图，在中，，于点D，平分，分别与交于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 11．如图，在中，点D、E在上，． (1)从①，②中，选择一个作为条件，另外一个作为结论，构成一个真命题，并证明； 条件： ， 结论： (填序号)． (2)在(1)的条件下，当时， 求的度数． 12．如图，在等边中，是边上的高，，在下列结论中：①；②；③；④．正确的是 ．（填序号） 13．已知，如图，为等边三角形，，、相交于点P，于Q． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，，求的长． 14．如图，过等边的顶点在内部作射线，（且），点A关于射线的对称点为点，直线交于点，连接，． (1)依据题意，补全图形； (2)在（且）变化的过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请求出的大小； (3)连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并给予证明． 15．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ． 16．如图1，是等边三角形的边所在直线上一点，是边所在直线上一点，且与不重合，若，则称为点关于等边三角形的反称点，点称为反称中心． 在平面直角坐标系中， (1)已知等边三角形的顶点的坐标为，点A在第一象限内，反称中心在直线上，反称点在直线上． ①如图2，若为边的中点，在图中作出点关于等边三角形的反称点，并直接写出点的坐标： ； ②若，求点关于等边三角形的反称点的坐标； (2)若等边三角形的顶点为，，反称中心在直线上，反称点在直线上，且，请直接写出点关于等边三角形的反称点的横坐标的取值范围：_________（用含的代数式表示）. 17．（2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（    ） A． B． C． D． 18．（2023·浙江台州·中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交