专题05 二次函数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

专题05 二次函数 【考点1】二次函数的定义． 【考点2】二次函数的性质． 【考点3】二次函数的图象． 【考点4】二次函数图象上点的坐标特征． 菁【考点5】二次函数的最值． 【考点6】二次函数图象与几何变换． 【考点7】二次函数的三种形式． 【考点8】抛物线与x轴的交点． 【考点9】二次函数图象与系数的关系 【考点10】根据实际问题列二次函数关系式．菁优 【考点11】二次函数综合题． 知识点 1 ：二次函数的概念 1. 二次函数的概念: 一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数. 其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式； ②化简后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不为0． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项 注意：二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外，还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c。 知识点 2 ：二次函数的值 根据题意把x值代入函数解析式，求出y值即可。 知识点 3 ：二次函数图像常见类型的性质 （1）y=ax²的图像的性质 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax²来说， 越大，抛物线的开口越小 （2） y=ax²+c的图像的性质 （3）二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 （4）二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 知识点4 二次函数图像的变换（平移） 平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k） （2） 从函数y=ax²平移烦方法如下： 注意：（1）上下平移 若原函数为 注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。 （2）左右平移 若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 知识点5 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系 1. 顶点式化成一般式 2. 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 3. 一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 知识点6 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 知识点7 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大