（讲义）第8章 8.6 8.6.3 第1课时 二面角及平面与平面垂直的判定定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

8.6.3　平面与平面垂直 第1课时　二面角及平面与平面垂直的判定定理 学习任务 1．理解二面角及其平面角的概念，会作二面角的平面角，会求简单的二面角的平面角．(数学抽象、数学运算) 2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，会用定理证明垂直关系．(数学抽象、逻辑推理) 如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉．你认为应该怎样刻画面面“夹角”呢？ 知识点1　二面角 1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 2．相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱，(2)两个半平面叫做二面角的面． 3．画法： 4．记法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q． 5．二面角的平面角：若有(1)O∈l；(2)OA⊂α，OB⊂β； (3)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α-l-β的平面角是∠AOB． 6．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°． 1.二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？ [提示]　无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关． 2.二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，构成二面角的平面角的三要素是什么？ [提示]　三要素是“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直． 知识点2　平面与平面垂直 1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 2．画法： 3．记作：α⊥β． 4．判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β． (　　) (2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β． (　　) (3)两平面垂直时，其二面角是直二面角． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 类型1　二面角的计算问题 【例1】　如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB． (1)求二面角A-PD-C的平面角的度数； (2)求二面角B-PA-D的平面角的度数； (3)求二面角B-PA-C的平面角的度数． [解]　(1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD． 又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD． PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD． 又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD． ∴二面角A-PD-C的平面角的度数为90°． (2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA． ∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角． 又由题意知∠BAD＝90°， ∴二面角B-PA-D的平面角的度数为90°． (3)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA． ∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角． 又四边形ABCD为正方形， ∴∠BAC＝45°，即二面角B-PA-C的平面角的度数为45°． 　求二面角的平面角的大小的步骤 (1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线． (2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角． (3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小． (4)结论． [跟进训练] 1．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大小． [解]　由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC． ∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC． 又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC． 又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC． 又∵BC是二面角P-BC-A的棱， ∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角． 由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小是45°． 类型2　平面与平面垂直的判定 　定义法判定平面与平面垂直 【例2】　如图，在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD． [证明]　因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE， 则AE⊥BD，BD⊥CE，则∠AEC是二面角A-BD-C的平面角． 在△ABD中，AB＝a，BE＝BD＝a， 所以AE＝ ＝a.同理CE＝a． 在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a． 因为AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE， 即∠AEC＝90°，所以二面角A-BD-C为直二面角， 所以平面ABD⊥平面BCD． 　判定定理法判定平面与平面垂直 【例3】　(源自湘教版教材)如图，已知