（讲义）第8章 8.6 8.6.1 直线与直线垂直-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.1　直线与直线垂直 学习任务 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系．(直观想象) 2．掌握两异面直线所成的角的求法．(数学运算、逻辑推理) 观察下面两个图形． 问题：(1)教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？ (2)六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？ 知识点1　异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°． 1.在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？ [提示]　根据等角定理可知，异面直线所成角的大小与点O的位置无关． 知识点2　两条异面直线垂直 (1)定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直． (2)表示：直线a与直线b垂直，记作a⊥b． 2.两条直线垂直，一定相交吗？ [提示]　不一定．当两条异面直线所成的角为90°时，两条异面直线垂直，但不一定相交． 1．已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG所成的角是________． 45°　[如图，连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角．因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°．] 2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有________条． 2　[长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条．] 类型1　异面直线所成的角 【例1】　如图，空间四边形ABCD的各个棱长都相等，E为BC的中点，求异面直线AE与CD所成角的余弦值． [解]　如图，取BD的中点F，连接EF，AF， 又E为BC的中点， ∴EF綉CD， ∴∠AEF为异面直线AE与CD所成的角(或补角)． 设空间四边形ABCD的棱长为a，则AE＝AF＝a，EF＝， ∴cos ∠AEF＝＝＝． 故异面直线AE与CD所成角的余弦值为． 　求异面直线所成角的一般步骤 “一作”即过空间一点作两条异面直线的平行线，而空间一点一般取在两异面直线中的一条上，特别是某些特殊点处，例如“端点”或“中点”处． “二求”即通过解三角形，计算所作的角的大小． “三结论”即假如所构造的角的大小为α，若0°＜α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°＜α＜180°，则180°－α即为所求． [跟进训练] 1．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，求异面直线A1C与B1C1所成的角的大小． [解]　因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角． 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，连接BA1(图略)， ∵AB＝AC＝AA1＝1，∴BA1＝，CA1＝. ∴△BCA1是等边三角形， ∴异面直线A1C与B1C1所成的角为60°. 类型2　直线与直线垂直的证明 【例2】　如图，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF. [解]　法一：如图，连接A1C1，B1D1，设交点为O，取DD1的中点G，连接OG，GA1，GC1. 则OG∥B1D，EF∥A1C1， ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角． ∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点， ∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，∴DB1⊥EF. 法二：如图，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE∥DB1，且HE＝DB1.于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．连接HF，设AA1＝1，则EF＝，HE＝，取A1D1的中点I，连接IF，HI，则HI⊥IF. ∴HF2＝HI2＋IF2＝，∴HF2＝EF2＋HE2. ∴∠HEF＝90°，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°， ∴DB1⊥EF. 法三：如图，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，DQ，则B1Q∥EF. 于是，直线DB1与B1Q所成的角就是异面直线DB1与EF所成的角或其补角． 通过计算，不难得到B1D2＋B1Q2＝DQ2， 从而异面直线DB1与EF所成的角为90°，所以DB1⊥EF. 　证明两条直线垂直的策略 (1)对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明． (2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明． [跟进训练] 2．(1)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四