（讲义）第8章 8.6 8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

第2课时　平面与平面垂直的性质 学习任务 1．通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明．(直观想象、数学抽象) 2．能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题．(逻辑推理) 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？由此，你能得到什么样的一般结论呢？ 知识点　平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β α∩β＝la⊂α a⊥l⇒a⊥β 图形语言 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β． (　　) (2)若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β． (　　) (3)若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 类型1　面面垂直性质定理的应用 【例1】　如图，已知V是△ABC所在平面外一点，VA⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VBC.求证：AB⊥BC． [思路导引]　平面VAB⊥平面VBCAD⊥BC BC⊥平面VABBC⊥AB． [证明]　如图，在平面VAB内，过点A作AD⊥VB于点D． ∵平面VAB⊥平面VBC，且交线为VB， ∴AD⊥平面VBC． ∴AD⊥BC． ∵VA⊥平面ABC， ∴VA⊥BC． ∵AD∩VA＝A，且VA⊂平面VAB，AD⊂平面VAB， ∴BC⊥平面VAB． ∵AB⊂平面VAB，∴AB⊥BC． [母题探究] 若将本例中的条件变为：平面VAB⊥平面ABC，平面VAC⊥平面ABC，CA⊥AB.求证：VA⊥BC． [证明]　∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，AC⊂平面ABC，CA⊥AB， ∴CA⊥平面VAB，∴CA⊥VA.同理，BA⊥VA． 又AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC， ∵BC⊂平面ABC，∴VA⊥BC． 　在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题． [跟进训练] 1．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形， 其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证： (1)BG⊥平面PAD； (2)AD⊥PB． [证明]　(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD． 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD， ∴PG⊥平面ABCD， 由BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG． 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD． 又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD， ∴BG⊥平面PAD． (2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，∴AD⊥平面PBG， 又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB． 类型2　线线、线面、面面垂直的综合应用 【例2】　如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足． (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形． [证明]　(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F． ∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC， ∴DF⊥平面PAC． ∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA． 作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA． ∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D， ∴PA⊥平面ABC． (2)如图，连接BE并延长交PC于点H． ∵点E是△PBC的垂心， ∴PC⊥BE． 又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， ∴PC⊥AE． ∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE． 又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB． 由(1)知PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB． ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC． 又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形． 　垂直关系的转化 直线与直线垂直(线线垂直)、直线与平面垂直(线面垂直)、平面与平面垂直(面面垂直)之间可以相互转化，它们之间的转化关系可用框图来表示． [跟进训练] 2．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证： (1)DE＝DA； (2)平面BDM⊥平面ECA； (3)平面DEA⊥平面ECA. [证明]　(1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，则CF＝DB＝a. 因为CE⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所