（讲义）第8章 8.5 8.5.2 直线与平面平行-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

8.5.2　直线与平面平行 学习 任务 1．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理．(数学抽象) 2．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(逻辑推理) 如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α具有怎样的位置关系？如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直线l与直线m具有怎样的位置关系？ 问题：你能给出判定的依据吗？ 知识点1　直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 图形语言 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 知识点2　直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 图形语言 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 直线和平面平行的判定定理中如果没有“不在一个平面内”的限制条件，结论还成立吗？为什么？ [提示]　结论不一定成立．因为直线a可能在平面α内． 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l∥平面α，直线a⊂平面α，则l∥a． (　　) (2)若直线m∥平面α，n∥平面α，则m∥n． (　　) [答案]　(1)×　(2)× 类型1　直线与平面平行的判定 【例1】　如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD． [证明]　如图，取PD的中点G，连接GA，GN． ∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点， ∴GN∥DC，GN＝DC． ∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点， ∴AM＝DC，AM∥DC， ∴AM∥GN，AM＝GN， ∴四边形AMNG为平行四边形， ∴MN∥AG． 又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD， ∴MN∥平面PAD． 　用判定定理证明直线与平面平行的步骤 [跟进训练] 1．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点． 求证：DE∥平面ACC1A1． [证明]　连接BC1，AC1， 因为三棱柱ABC-A1B1C1是斜三棱柱，所以四边形BCC1B1为平行四边形，由平行四边形性质得点E也是BC1的中点． 因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1 ． 又DE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1． 所以DE∥平面ACC1A1． 类型2　直线与平面平行的性质 【例2】　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形． [证明]　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC， 所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN． 同理，AB∥PQ， 所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP． 所以截面MNPQ是平行四边形． 　运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行． [跟进训练] 2．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH． [证明]　如图，连接MO． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点． 又∵M是PC的中点， ∴AP∥OM． 又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM． 又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH． 类型3　直线与平面平行的判定与性质 【例3】　求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． [解]　已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l． 证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b． 同样过a作平面δ交平面β于c， ∵a∥β，∴a∥c.则b∥c． 又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β． 又∵b⊂a，a∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l． 　利用线面平行的判定和性质定理，可以完成线线平行与线面平行的相互转化．转化思想是一种重要数学思想．该转化过程可概括为： [跟进训练] 3．一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点． (1)过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？ (2)在平面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？ [解]　(1)取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F． 分别连接PD，PF，EF，DE． 则PD，PF，EF，DE即为在木块表面应画的线． (2)在平面ABC中的画线EF与棱AC平行，证明如下： 因为PF∥DE， 所以P，D，E，F四点共面，且AC∥平面PDEF， 因为平