（讲义）第8章 8.5 8.5.1 直线与直线平行-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

8.5　空间直线、平面的平行 8.5.1　直线与直线平行 学习任务 1．理解并掌握基本事实4.(数学抽象) 2．理解等角定理，并会用其解决有关问题．(直观想象、逻辑推理) 在平面几何中，同一平面内的三条直线a，b，c，如果a∥b，b∥c，那么a∥c.这个性质在空间是否成立呢？ 知识点1　基本事实4 (1)内容：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性． (2)符号表示：⇒a∥c． 1.基本事实4的实质及作用是什么？ [提示]　实质上是说平行具有传递性，是判断空间两条直线平行的依据． 知识点2　等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2.应用等角定理时，两个角何时相等何时互补？ [提示]　如果两角的两条边方向都相同或都相反，则这两角相等；如果两条边的方向一个相同一个相反，则两角互补． 1．在三棱台A1B1C1-ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1的关系是(　　) A．相交　 B．异面 C．平行 D．垂直 C　[如图所示， 因为G，H分别是AB，AC的中点，所以GH∥BC，又由三棱台的性质得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1．] 2．空间两个角∠ABC和∠A′B′C′中，AB∥A′B′，BC∥B′C′，若∠ABC＝45°，则∠A′B′C′＝(　　) A．45° B．135° C．30° D．45°或135° D　[由等角定理可知∠A′B′C′＝45°或135°．] 类型1　平行线传递性的应用 【例1】　(源自苏教版教材)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB，BC的中点．求证：EF∥A1C1． [证明]　连接AC(图略)． 在△ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点， 所以EF∥AC． 又因为AA1綉BB1，BB1綉CC1， 所以AA1綉CC1， 从而四边形AA1C1C是平行四边形， 所以AC∥A1C1． 从而EF∥A1C1． 　基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．证明两直线平行的方法一般有三角形的中位线、平行四边形、点分线段成比例等． [跟进训练] 1．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，G，H分别是BC，CD边上的点，且＝＝.求证：四边形GHFE是梯形． [证明]　因为空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点， 所以EF∥BD，且EF＝BD， 因为G，H分别是BC，CD边上的点， 且＝＝， 所以HG∥BD，且HG＝BD， 所以EF∥HG，且EF≠HG， 所以四边形GHFE是梯形． 类型2　等角定理的应用 【例2】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点． (1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1． [证明]　(1)∵ABCD-A1B1C1D1为正方体， ∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1， 又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点， ∴AM＝A1M1且AM∥A1M1， ∴四边形AMM1A1为平行四边形， ∴MM1＝AA1且MM1∥AA1． 又AA1＝BB1且AA1∥BB1， ∴MM1＝BB1且MM1∥BB1， ∴四边形BB1M1M为平行四边形． (2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1∥BM． 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1∥CM． ∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同， ∴∠BMC＝∠B1M1C1． 法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1＝BM． 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1＝CM． 又∵B1C1＝BC， ∴△BCM≌△B1C1M1， ∴∠BMC＝∠B1M1C1． 　证明两个角相等常有三种途径：三角形相似、三角形全等及空间等角定理．其中依据空间等角定理证明两角相等时要注意两点： (1)证明两个角的两边分别对应平行；(2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反． [跟进训练] 2．如图，已知三棱锥A-BCD的四个面分别是△ABC，△ABD，△ACD和△BCD，E，F，G分别为线段AB，AC，AD上的点，EF∥BC，FG∥CD． 求证：△EFG∽△BCD． [证明]　∵在△ABC中，EF∥BC，∴＝.又FG∥CD，∴＝.∴＝，∴EG∥BD． ∵∠EFG与∠BCD的两条边分别对应平行，且方向相同， ∴∠EFG＝∠BCD． 同理∠FGE＝∠CDB.∴△EFG∽△BCD． 1．若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c(　　) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 C　[若b∥c，由a∥b