（讲义）第8章 8.5 8.5.3 平面与平面平行-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

8.5.3　平面与平面平行 学习任务 借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，平面与平面平行的性质定理，并加以证明．(直观想象、数学抽象、逻辑推理) 如图，工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的． 知识点1　平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？ [提示]　不一定．如图，平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交． 知识点2　平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面α∥平面β，α∩γ＝a，平面 β∩平面γ＝b⇒a∥b． (　　) (2)平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β⇒a∥b． (　　) [答案]　(1)√　(2)× 类型1　平面与平面平行的判定 【例1】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点． 求证：(1)E，F，B，D四点共面； (2)平面MAN∥平面EFDB． [证明]　(1)连接B1D1， ∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点， ∴EF∥B1D1． 而BD∥B1D1，∴BD∥EF． ∴E，F，B，D四点共面． (2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD． 又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB． ∴MN∥平面EFDB． 连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点， ∴MF∥A1D1，MF＝A1D1． ∴MF∥AD且MF＝AD． ∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF． 又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE， ∴AM∥平面BDFE． 又∵AM∩MN＝M， ∴平面MAN∥平面EFDB． 　平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β． (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ． [跟进训练] 1．如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG． [证明]∵E，G分别是PC，BC的中点， ∴EG∥PB， 又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， ∴EG∥平面PAB， ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD，又∵AB∥CD， ∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面PAB∥平面EFG． 类型2　平面与平面平行的性质 【例2】　如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D． (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长． [解]　(1)证明：∵PB∩PD＝P， ∴直线PB和PD确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD． 又α∥β，∴AC∥BD． (2)由(1)得AC∥BD，则＝． 又PA＝4，AB＝5，PC＝3． ∴＝，∴CD＝， 故PD＝PC＋CD＝． [母题探究] 若点P在平面α与β之间，其他条件不变． (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长． [解]　(1)证明：如图，∵PB∩PD＝P， ∴PB，PC确定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD． 又α∥β， ∴AC∥BD， (2)由(1)得AC∥BD，∴△PAC∽△PBD， ∴＝，即＝． 又PA＝4，AB＝5，PC＝3． ∴＝，则PD＝． 　应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 [跟进训练] 2．已知三个平面α，β，γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G． 求证：＝． [证明]　连接AG交β于H，连接BH，FH，AE，CG． 因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG， 所以BH∥CG.同理AE∥HF， 所以＝＝， 所以＝． 类型3　平行关系的综合应用 【例3】　如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D． [证明]　因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，