（讲义）第8章 8.4 8.4.1 平面-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1　平面 学习任务 1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(数学抽象、直观想象) 2．掌握关于平面基本性质的三个基本事实．(数学抽象、逻辑推理) 3．会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．(逻辑推理) 生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？ 知识点1　平面 平面的描 述性概念 几何里所说的“平面”，就是从生活中一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的 画法 水平 放置 常把平行四边形的一边画成横向 竖直 放置 常把平行四边形的一边画成竖向 记法 (1) 用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内 (2) 用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD (3) 用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC，平面BD 1.课桌面、黑板面、海面是平面吗？ [提示]　虽然课桌面、黑板面、海面给我们以平面的形象，但是平面是无限延展的，所以它们不是平面． 2.我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面，这句话对吗？ [提示]　不对，我们通常用平行四边形表示平面，但平面是无限延展的，所以平行四边形不是一个平面． 3.几何中的平面有什么特点？ [提示]　(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的． 知识点2　点、直线、平面之间的位置关系 (1)直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内． (2)直线、平面都可以看成点的集合．点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P∉l；点P在平面α内，记作P∈α；点P在平面α外，记作P∉α；直线l在平面α内，记作l⊂α；直线l不在平面α内，记作l⊄α． 4.“线段AB在平面α内，直线AB不全在平面α内”这一说法是否正确？为什么？ [提示]　不正确．∵线段AB在平面α内，∴线段AB上的所有点都在平面α内，∴线段AB上的A，B两点一定在平面α内，∴直线AB在平面α内． 知识点3　平面的基本事实及推论 (1)基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l (2)基本事实的推论 推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面(图①)． 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)． 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)． 5.经过三点有多少个平面？ [提示]　当三点不共线时，由基本事实1可知，经过这三点有且只有一个平面．而当三点共线时，经过这三点有无数个平面． 6.三个基本事实各有什么作用？ [提示]　(1)基本事实1是确定平面的依据． (2)基本事实2是判断直线在平面内的依据． (3)基本事实3可以①判定两个平面相交；②作两个平面的交线；③证明点共线或线共点． 如图，点A________平面ABC；点A________平面BCD；BD________平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝________． [答案]　∈　∉　⊂　BC 类型1　立体几何三种语言的相互转化 【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B； (2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上． [解]　(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图． (2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图． 　三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． [跟进训练] 1．用符号语言表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC． [解]　(1)符号语