（讲义）第8章 8.4 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 学习 任务 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．(数学抽象、直观想象) 观察你所在的教室． 问题：(1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？ (2)教室内某灯管所在的直线和地面是什么位置关系？ (3)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是什么位置关系？ (4)教室内黑板面和教室的后墙面是什么位置关系？ 知识点1　空间中直线与直线的位置关系 1．异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线． 2．空间两条直线的三种位置关系 1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ [提示]　不一定．可能平行、相交或异面． 2.如何画异面直线？ [提示]　常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如图①②③． 知识点2　空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 3．直线l在平面α外，l就与α无公共点吗？ [提示]　直线l在平面α外包含两种情况：l与α平行，l与α相交．若l与α相交，则有唯一的公共点．所以直线l在平面α外，l与α不一定没有公共点． 知识点3　空间中两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 4.已知两个平面有三个公共点，这两个平面的位置关系如何？ [提示]　当三个公共点共线时，两个平面相交或重合；当三个公共点不共线时，两个平面重合． 1．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，则它与另一条(　　) A．相交　　　　 B．异面 C．相交或异面 D．平行 [答案]　C 2．若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交或异面 D　[若a∥α，则a与α内的直线平行或异面；若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面．] 3．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有________个． 4　6　[六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共由8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．] 类型1　异面直线的判定 【例1】　(源自湘教版教材)如图，已知a⊂α，A∉α，B∈α，B∉a． 求证：直线AB与a是异面直线． [证明]　假设直线AB与a在同一个平面内，那么这个平面一定经过点B和直线a． 因为B∉a，经过点B与直线a只有一个平面α． 所以直线AB与a应在平面α内． 所以A∈α，这与已知A∉α矛盾． 所以直线AB与a是异面直线． 　判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内． (2)重要结论：与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线． [跟进训练] 1．(1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　) A．平行　 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面 (2)如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′的棱所在的直线中，找出与棱AA′所在直线异面的所有直线． (1)D　[如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a， AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．] (2)[解]　先把长方体中和棱AA′相交或平行的棱去掉，剩下棱D′C′，B′C′，DC，BC． 观察棱BC所在直线，因为AA′⊂平面AB′，B∈平面AB′，B∉AA′，C∉平面AB′，所以直线AA′与BC是异面直线． 同理，直线B′C′，D′C′，DC都与直线AA′异面． 类型2　空间中直线与平面的位置关系 【例2】　(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(　　) A．直线上所有的点都在平面外 B．直线上有无数多个点都在平面外 C．直线上有无数多个点都在平面内 D．直线上至少有一个点在平面内 (2)下列说法中，正确的是________． ①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行； ②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交； ③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行． (1)B　(2)②　[