（讲义）第8章 8.3 8.3.2 第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 学习任务 1．通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法．(逻辑推理) 2．会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积．(数学运算) 如图是工厂生产的各种金属零件，被广泛应用于工业领域的各个方面． 问题：(1)如果已知制作零件的金属的密度，如何求出这些零件的质量？ (2)如图所示的零件都是旋转体，其侧面都是曲面，如何求其表面积？ 知识点1　圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？ [提示]　如图所示． S圆柱＝2πr(r＋l)　S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)　S圆锥＝πr(r＋l) 知识点2　圆柱、圆锥、圆台的体积公式 (1)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (2)V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)． (3)V圆台＝πh(r2＋r′r＋r′2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)． 1．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于________． 67π　[S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) ＝π(32＋42＋3×6＋4×6) ＝π(9＋16＋18＋24) ＝67π．] 2．已知圆锥的底面半径为2，高为5，则这个圆锥的体积为________． π　[由题意V圆锥＝Sh＝πr2·h＝．] 类型1　圆柱、圆锥、圆台的表面积 【例1】　(1)将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱(包含上、下底面)的表面积是________． (2)(源自北师大版教材例题)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？(结果中保留π) (1)32π2＋8π或32π2＋32π　[当底面圆的周长为8π时，半径r＝4，∴上、下底面面积和为2×π×42＝32π，侧面积为4π×8π＝32π2， ∴圆柱的表面积为32π2＋32π． 同理可得当底面圆的周长为4π时，圆柱的表面积为32π2＋8π．] (2)[解]　如图，设圆台上底面周长为c cm． 因为圆环的圆心角是180°，所以c＝π·SA． 又因为c＝2π×10＝20π(cm)，所以SA＝20 cm． 同理SB＝40 cm． 所以AB＝SB－SA＝20(cm)，S圆台侧＝π(r1＋r2)·AB＝π(10＋20)×20＝600π(cm2)． 因此，圆台的侧面积为600π cm2． 　解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可． [跟进训练] 1．若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为120°，则圆锥的表面积是底面积的(　　) A．2倍　　　B．3倍　　　C．4倍　　　D．5倍 C　[设圆锥底面半径为r，母线长为R． 由圆锥底面周长为2πr＝×2πR，解得R＝3r，∴圆锥的表面积S表＝πr2＋πrR＝4πr2，圆锥的底面积S底＝πr2， ∴圆锥的表面积是底面积的4倍．] 类型2　圆柱、圆锥、圆台的体积 【例2】　(1)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为________． (2)已知一圆台上底面半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的体积为________． (1)10π　(2)π　[(1)V＝＝10π． (2)作出圆台的轴截面如图， 设圆台的高为h，则＝，∴h＝2， ∴V＝(22＋2×3＋32)×2＝π．] 　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解． [跟进训练] 2．若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是(　　) A．1　　B．1∶2　　C．∶2　　D．3∶4 D　[设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圆锥＝πR2h＝πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4．] 类型3　组合体的表面积与体积 【例3】　如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥C