（讲义）第8章 8.3 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

8.3　简单几何体的表面积与体积 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学习任务 1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．(逻辑推理) 2．会求与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．(数学运算) 胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为51°51′.假如把建造金字塔的石块分成均等的小块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大． 问题：(1)如何计算建此金字塔需用多少石块？ (2)如果在金字塔的表面涂上一层保护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量？ 知识点1　棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 几何体的侧面积与表面积有何区别？ [提示]　侧面积指的是几何体侧面的面积，而表面积是指整个几何体表面的面积． 知识点2　棱柱、棱锥、棱台的体积 1．一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱＝Sh． 2．一般地，如果棱锥的底面面积是S，高是h，那么该棱锥的体积V棱锥＝Sh． 3．如果棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高是h，那么这个棱台的体积V棱台＝_h(S′＋＋S)． 1．正三棱锥的高为3，侧棱长为2，则这个正三棱锥的体积为________． [答案]　 2．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________． [答案]　6＋2 类型1　棱柱、棱锥、棱台的表面积 【例1】　已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积． [解]　如图所示，画出正三棱台ABC-A1B1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，所以DD1＝＝＝，所以此三棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝3××(3＋6)×＋×32＋×62＝ (cm2)． 　求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积． [跟进训练] 1．(1)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　) A．a2　 B．a2 C．a2 D．a2 (2)现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，则该直四棱柱的侧面积为________． (1)A　(2)160　[(1)∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a， ∴S表＝a2＋3××＝a2． (2)如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56． ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝＋＝＝＝64， ∴AB＝8． ∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160．] 类型2　棱柱、棱锥、棱台的体积 【例2】　如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2＞V1, 求V1，V2以及V1∶V2． [解]　截面将正方体化为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD， 其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形，其面积S＝×AB×AD＝a2． 底面ABD上的高为h＝AA1＝a． 所以其体积V1＝Sh＝×a2×a＝a3． 正方体的体积V＝a3， 所以V2＝V－V1＝a3－a3＝a3， 所以V1∶V2＝1∶5． [母题探究] 在本例条件不变的情况下，求点A到平面A1BD的距离d． [解]　三棱锥A1-ABD与三棱锥A-A1BD是同一个几何体．在△A1BD中，A1B＝BD＝A1D＝a， 取BD的中点H，连接A1H， 则A1H⊥BD，BH＝HD＝BD＝a， 所以A1H＝＝＝a． 则△A1BD的面积S2＝BD·A1H＝×a×a＝a2． 因为＝， 即a3＝S2·d， 所以a3＝×a2×d， 解得d＝a，即点A到平面A1BD的距离为a． 　求几何体体积的常用方法 [跟进训练] 2．在三棱台ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1-ABC，三棱锥B-A1B1C，三棱锥C-A1B1C1的体积之比． [解]　设三棱台的高为h，S△ABC＝S，则＝4S． ∴＝S△ABC·h＝Sh， ＝·h＝Sh． 又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh， ∴＝V台 ＝Sh－－＝Sh，∴三棱锥A1-ABC，B-A1B1C与C-A1B1C1的体积比为1∶2∶4． 类型3　简单组合体的表面积与体积 【例