（讲义）第8章 8.3 8.3.2 第2课时 球的表面积和体积-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

第2课时　球的表面积和体积 学习任务 1．了解并掌握球的体积和表面积公式．(数学抽象) 2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(数学运算) 3．会解决球的切、接问题．(直观想象、数学运算) 2022年2月6日，在2022年印度女足亚洲杯决赛中，中国女足在0比2落后的情况下逆转，以3比2力克韩国队夺冠，时隔16年重登亚洲之巅． 问题：你知道2022女足亚洲杯决赛中所使用的足球的表面积和体积吗？ 知识点　球的表面积和体积 1．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 2．球的体积 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3． 1．表面积为4π的球的半径是________． 1　[设球的半径为R，则S＝4πR2＝4π，得R＝1．] 2．若一个球的体积为36π，则它的表面积为________． 36π　[由πR3＝36π，可得R＝3，因此其表面积S＝4πR2＝36π．] 类型1　球的表面积与体积 【例1】　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为π，求它的表面积． [解]　(1)设球的半径为r，则由已知得 4πr2＝64π，r＝4． 所以球的体积为V＝×π×r3＝π． (2)设球的半径为R， 由已知得πR3＝π，所以R＝5， 所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π． 　把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件． [跟进训练] 1．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为(　　) A．π　　B．π　　C．π　　D．π D　[因为球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为×23＝π，故选D．] 类型2　球的截面问题 【例2】　(1)平面α截球O的球面所得圆的半径为1．球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A．π　　　B．4π　　　C．4π　　　D．6π (2)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________． (1)B　(2)1或7　[(1)如图， 设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1， ∴OM＝＝，即球的半径为， ∴V＝π()3＝4π． (2)若两个平行截面在球心同侧，如图①，则两个截面间的距离为－＝1； 若两个平行截面在球心异侧，如图②，则两个截面间的距离为＋＝7． ] 　球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2． [跟进训练] 2．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________． 16π　[如图，圆M的面积为3π，则圆M的半径MB为，设球O的半径为R，则R2＝R2＋3，得R＝2，则球O的表面积等于4π×22＝16π．] 类型3　与球有关的切、接问题 【例3】　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． [思路导引]　正方体与球轴截面棱长与半径的关系． [解]　设正方体的棱长为a，设三个球的半径分别为r1，r2，r3． (1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过在一个平面上的四个切点及球心作截面，如图①所示． 所以2r1＝a，r1＝，S1＝＝πa2． (2)球与正方体各棱的切点为每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②所示． 所以2r2＝a，r2＝a，所以S2＝＝2πa2． (3)正方体的各个顶点都在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③所示． 则2r3＝a，∴r3＝a，S3＝＝3πa2． 因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3＝1∶2∶3． 　处理与球有关的相接、相切问题时，关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题． (1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径． (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径． [跟进训练] 3．(1)长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是(　　) A．12π　　　B．18π　　　C．36π　　　D．6π (2)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________． (1)A　(2)　[(1)由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长