（讲义）第8章 8.2 立体图形的直观图-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

8.2　立体图形的直观图 学习任务 1．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(数学抽象) 2．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图．(直观想象) 在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系． 问题：在画板上画实物图时，其中的直角在图中一定画成直角吗？ 知识点　直观图的画法 1．斜二测画法 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． 2．平面图形直观图的画法 1.斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？ [提示]　“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 3．几何体直观图的画法 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变． 2.空间几何体的直观图唯一吗？ [提示]　不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同． 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的________． ①原来长度相等的线段在直观图中长度仍相等； ②原来垂直的直线在直观图中仍垂直； ③原来平行的直线在直观图中仍平行； ④相等的角在直观图中仍相等． [答案]　③ 类型1　画平面图形的直观图 【例1】　(源自苏教版教材)画水平放置的正三角形的直观图． [解]　如图，按如下步骤完成： 第一步　在已知的正三角形ABC中，取AB所在的直线为x轴，取对称轴CO为y轴．画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°． 第二步　在x′轴上取O′A′＝OA，O′B′＝OB，在y′轴上取O′C′＝OC． 第三步　连接A′B′，B′C′，C′A′，所得△A′B′C′就是水平放置的正三角形ABC的直观图． 　画平面图形的直观图的技巧 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点． (2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段． [跟进训练] 1．画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示． [解]　(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示． (2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②． (3)擦去辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③． 类型2　画空间几何体的直观图 【例2】　(源自北师大版教材)用斜二测画法画正五棱锥的直观图． [解]　(1)根据平面图形的直观图画法画底面(如图)； (2)画z′轴(z′轴与x′轴的交角为90°)，并画高(与原长相等)(如图(1))； (3)连线成图，擦去辅助线，且将被遮线画成虚线(如图(2))，就得到正五棱锥的直观图S′-A′B′C′D′E′(如图(3))． 　画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为： ―→―→―→ [跟进训练] 2．画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm) [解]　画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴， 使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°． (2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF． (3)画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长2 cm． (4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图． 类型3　直观图的还原与计算 【例3】　(1)如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D (2)如图，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是(　　) A．1　　　B．　　　　C．2　　　　D．4 (1)A　(2)C　[(1)由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等