（讲义）第7章 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

类型1　复数的概念 1．复数的概念包括虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．理解复数的相关概念是解答相应问题的关键． 2．掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养． 【例1】　(1)设i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a＝(　　) A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1 (2)(2022·北京高考)若复数z满足i·z＝3－4i，则＝(　　) A． 1　　　B．5　　　C．7 　　　D．25 (3)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋的虚部为(　　) A．0　　　B．－1　　　C．1 　　　D．－2 (1)C　(2)B　(3)A　[(1)∵a＋＝a＋ ＝a＋＝a－2－4i是纯虚数， ∴a－2＝0，即a＝2.故选C． (2)由条件可知z＝＝－4－3i，∴|z|＝5． (3)∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z2＋＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A．] 类型2　复数的四则运算 1．复数运算包括复数的加法、减法、乘法和除法，它是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点． 2．借助复数运算的学习，提升数学运算素养． 【例2】　已知复数z＝(1＋2i)(－2＋i)－． (1)化简复数z； (2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求实数a，b的值． [解]　(1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－ ＝－4－3i－＝－4－3i－(2－i)＝－6－2i． (2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0，∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0，∴22－12a－b＋(26－4a＋b)i＝0， ∴ 解得 类型3　复数的几何意义 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)及向量之间是一一对应关系，另外复数加减法的几何意义与向量加减法的几何意义一致． 2．通过复数几何意义的学习，培养直观想象素养． 【例3】　(1)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)·(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)(多选)已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为(　　) A．1＋i B．－1＋i C．－1－i D．1－i (3)复数z满足|z＋3－i|＝，则|z|的最大值是________，|z|的最小值是________． (1)A　(2)BC　(3)3　　[(1)因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A． (2)设复数z在复平面内对应的点的坐标为Z(a，b)．根据题意可画图形如图所示． ∵|z|＝2，且与x轴正方向的夹角为120°， ∴a＝－1，b＝±， 即点Z的坐标为(－1，)或(－1，－)． ∴z＝－1＋i或－1－i． (3)|z＋3－i|＝表示以－3＋i对应的点P(－3，)为圆心，以为半径的圆，如图所示， 则|OP|＝|－3＋i|＝＝2， 显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3， |z|min＝|OB|＝|OP|－＝．] 章末综合测评(二)　复数 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则(　　) A．a＝1，b＝－1　 B．a＝1，b＝1 C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1 A　[因为a，b∈R，＋2ai＝2i，所以a＋b＝0，2a＝2，解得a＝1，b＝－1． 故选A．] 2．(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i　　　B．i　　　C．0　　　D．1 A　[因为z＝＝＝＝－i，即z－＝－i.故选A．] 3．已知i是虚数单位，则化简的结果为 (　　) A．i　　　B．－i　　　C．－1 　　　D．1 B　[因为＝＝＝i， 所以＝i2 023＝i3＝－i．] 4．复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　[＝＝＝，所以该复数对应的点为，该点在第一象限．] 5．如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为(　　) A．1＋3i B．－3－i C．3－i D．3＋i D　[由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故选D．] 6．(2022·广西桂林中学月考)设z∈C，满足2≤≤3，其在复平面对应的点为Z，求点Z构成的集合所表示的图形面积(　　) A．1　　　B．5　　　C．π 　　　D．5π