（讲义）第7章 7.2 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

7.2　复数的四则运算 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 学习任务 1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．(数学抽象、数学运算) 2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(直观想象) 我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律，即a，b，c∈R时，必定有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 那么，复数中的加法应该如何规定，才能使得类似的交换律与结合律都成立呢？ 知识点1　复数的加、减运算 1．复数加法、减法的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则有： z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i． 2．复数加法的运算律 设z1，z2，z3∈C，则有： 交换律：z1＋z2＝z2＋z1； 结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 1.两个实数之和仍是一个实数，两个复数之和仍是一个复数，那么两个虚数之和仍是一个虚数吗？ [提示]　不一定，如i＋(－i)＝0． 2.若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2? [提示]　不能．如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小． 知识点2　复数加减法的几何意义 如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应． 3.类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？ [提示]　|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离． 已知向量对应的复数为2－3i，向量对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________． 1－i　[＝＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i．] 类型1　复数代数形式的加、减运算 【例1】　(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________． (2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________． (1)－2－i　(2)　[(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i． (2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i， 所以解得 所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i， 所以|z1＋z2|＝．] 　复数加减运算的方法技巧 (1)可把复数运算类比实数运算，若有括号，先计算括号里面的；若没有括号，可以从左到右依次进行． (2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时，可以利用运算律简化运算，注意正负号法则与实数相同，不能弄错． [跟进训练] 1．复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　[复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9，1)，在第一象限．] 类型2　复数代数形式加、减运算的几何意义 【例2】　(1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝.则|z1－z2|＝________． (2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0，3＋2i，－2＋4i，试求： ①所表示的复数，所表示的复数； ②对角线所表示的复数； ③对角线所表示的复数及的长度． (1)　[由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝．] (2)[解]　①＝－，∴所表示的复数为－3－2i． ∵＝， ∴所表示的复数为－3－2i． ②∵＝， ∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i． ③对角线＝，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝． 　利用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． [跟进训练] 2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数． [解]　设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数